Package 3 · Number and Algebra (Số và đại số)
Thuộc Curriculum Advanced Mathematics. Một trong hai package công cụ.
Tôi nắm chắc số học và đại số tới mức chúng thành công cụ sẵn trong tay, không phải thứ phải nhớ lại.
| Module | 6 |
| Unit | 24 |
| Mastery level | 3 tới 12 |
| Lớp (VN) | 5 tới 12 |
| Mức thi đấu | Nền tảng tới Olympiad |
| Key concept chính | Form (Hình thái) · Relationships (Quan hệ) |
Package này gom LP2, LP3 và LP6 của bản đề xuất gốc. Độ khó không tách thành package riêng mà nằm ở cột mức thi đấu của từng unit, vì cùng một chủ đề như bất đẳng thức xuất hiện ở cả mức AMC lẫn mức Olympiad.
Module trong package
| Module | Nội dung | Unit |
|---|---|---|
| 3.1 · Number structure (Cấu trúc số) | Số nguyên tố, phân tích, chia hết, ước chung | 4 |
| 3.2 · Modular arithmetic (Số học mô-đun) | Số dư, đồng dư, luỹ thừa theo mô-đun | 4 |
| 3.3 · Algebraic manipulation (Biến đổi đại số) | Biểu thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử | 4 |
| 3.4 · Equations and inequalities (Phương trình và bất đẳng thức) | Bậc nhất, hệ, bậc hai, AM-GM | 5 |
| 3.5 · Functions and sequences (Hàm số và dãy số) | Tư duy hàm, truy hồi, chuỗi | 4 |
| 3.6 · Integer problems (Bài toán số nguyên) | Diophantine, bài toán chữ số | 3 |
Toàn bộ unit
| Unit | Mastery (B21) | Lớp (VN) | Mức thi đấu | Key concept |
|---|---|---|---|---|
| 3.1.1 Primes and factorization (Số nguyên tố và phân tích) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Form |
| 3.1.2 Divisibility rules and why they work (Dấu hiệu chia hết và vì sao đúng) | 4-9 | 5-10 | Nền tảng - AMC 10 | Logic |
| 3.1.3 GCD and LCM (Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất) | 5-10 | 6-10 | AMC 8 - AMC 12 | Relationships |
| 3.1.4 Counting divisors (Đếm số ước) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Quantity |
| 3.2.1 Remainders as a tool (Dùng số dư làm công cụ) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Pattern |
| 3.2.2 Congruences (Đồng dư thức) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Equivalence |
| 3.2.3 Powers modulo n (Luỹ thừa theo mô-đun) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 3.2.4 Fermat and Euler (Định lý Fermat nhỏ và hàm Euler) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Relationships |
| 3.3.1 Expressions and identities (Biểu thức và hằng đẳng thức) | 4-9 | 6-10 | Nền tảng - AMC 10 | Form |
| 3.3.2 Factoring as pattern recognition (Phân tích nhân tử là nhận dạng) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Pattern |
| 3.3.3 Substitution (Đặt ẩn phụ) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Simplification |
| 3.3.4 Symmetric expressions (Biểu thức đối xứng) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Form |
| 3.4.1 Linear equations and systems (Phương trình bậc nhất và hệ) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Relationships |
| 3.4.2 Quadratics and Vieta (Bậc hai và định lý Vi-ét) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Relationships |
| 3.4.3 Basic inequalities (Bất đẳng thức cơ bản) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Relationships |
| 3.4.4 AM-GM and Cauchy (AM-GM và Cauchy-Schwarz) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Relationships |
| 3.4.5 When equality holds (Dấu bằng xảy ra khi nào) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 3.5.1 Functional thinking (Tư duy hàm) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Relationships |
| 3.5.2 Arithmetic and geometric sequences (Cấp số cộng và cấp số nhân) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Pattern |
| 3.5.3 Recurrences (Dãy truy hồi) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 3.5.4 Functional equations (Phương trình hàm) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Logic |
| 3.6.1 Diophantine equations (Phương trình nghiệm nguyên) | 9-12 | 9-12 | AIME - Olympiad | Logic |
| 3.6.2 Digit problems (Bài toán chữ số) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Representation |
| 3.6.3 Bounding an integer solution (Chặn nghiệm nguyên) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Logic |
Chỗ hay bị bỏ qua
Unit 3.4.5 là unit nhỏ mà đắt. Rất nhiều bài bất đẳng thức thi đấu không hỏi chứng minh, mà hỏi giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Trả lời được câu đó đòi biết dấu bằng xảy ra ở đâu, và learner chỉ học công thức AM-GM mà bỏ qua điều kiện dấu bằng sẽ chứng minh được bất đẳng thức nhưng không tìm được giá trị.
Unit 3.1.2 đi ngược cách dạy phổ thông. Dấu hiệu chia hết cho 3 thường được dạy như một mẹo phải nhớ; ở đây nó được chứng minh trong năm dòng bằng số dư của luỹ thừa 10. Learner hiểu được điều đó thì tự suy ra dấu hiệu cho 9, cho 11, và cho những số chưa ai dạy.
Unit 3.3.2 đặt lại bản chất của phân tích nhân tử: nó không phải kỹ thuật biến đổi mà là nhận dạng một dạng quen dưới lớp vỏ lạ, cùng loại năng lực với Package 2.