Module 3.2 · Modular arithmetic (Số học mô-đun)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi làm việc với số dư thay vì với số, nên bài toán về số khổng lồ trở thành bài về vài giá trị nhỏ.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 6 tới 12 |
| Lớp (VN) | 7 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Equivalence (Tương đương) · Pattern (Quy luật) |
Đây là công cụ có tỉ lệ sức mạnh trên độ phức tạp cao nhất của số học thi đấu. Ý nền tầm thường: chỉ quan tâm số dư. Hệ quả thì rất xa.
Unit 1 · Remainders as a tool (Dùng số dư làm công cụ)
Tôi sẽ làm được trả lời câu hỏi về số khổng lồ bằng cách chỉ theo dõi số dư của nó.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Cố tính giá trị thật của số lớn |
| Đạt | Theo dõi số dư qua các phép cộng và nhân |
| Vững | Nhận ra số dư lặp lại theo chu kỳ, và dùng chu kỳ đó |
Bằng chứng đạt. Learner tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa lớn bằng chu kỳ số dư, không tính luỹ thừa.
Hiểu lầm thường gặp. Bài về số lớn thì cần máy tính. Phần lớn bài số học thi đấu về số khổng lồ được thiết kế để không tính được, và lời giải luôn là bỏ hết thông tin trừ số dư.
Knowledge node. Số dư · Chu kỳ số dư · Chữ số tận cùng
Unit 2 · Congruences (Đồng dư thức)
Tôi sẽ làm được viết và biến đổi đồng dư thức như biến đổi phương trình.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Equivalence (Tương đương)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Nói về số dư bằng lời, không dùng ký hiệu |
| Đạt | Viết đồng dư thức và cộng, trừ, nhân hai vế |
| Vững | Biết chia hai vế cần điều kiện gì, và không chia bừa như với phương trình |
Bằng chứng đạt. Learner giải một đồng dư thức bậc nhất và nói rõ vì sao chia được hay không chia được.
Hiểu lầm thường gặp. Đồng dư thức biến đổi hệt phương trình. Cộng, trừ, nhân thì đúng; chia thì không, trừ khi số chia nguyên tố cùng nhau với mô-đun. Đây là chỗ sai nhiều nhất khi learner mới dùng ký hiệu đồng dư.
Knowledge node. Đồng dư thức · Phép toán trên đồng dư · Điều kiện chia
Unit 3 · Powers modulo n (Luỹ thừa theo mô-đun)
Tôi sẽ làm được tính luỹ thừa rất lớn theo một mô-đun, bằng chu kỳ hoặc bằng bình phương liên tiếp.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Nhân dần từng bước, không kịp với số mũ lớn |
| Đạt | Tìm chu kỳ của luỹ thừa rồi lấy số mũ theo chu kỳ |
| Vững | Dùng bình phương liên tiếp khi chu kỳ dài, và biết chọn cách nào |
Bằng chứng đạt. Learner tính một luỹ thừa với số mũ hàng nghìn theo một mô-đun, trong vài dòng.
Hiểu lầm thường gặp. Chu kỳ luôn ngắn nên cứ tìm chu kỳ. Có mô-đun cho chu kỳ rất dài, và khi đó bình phương liên tiếp nhanh hơn hẳn. Chọn đúng cách là một quyết định chiến lược, đúng như Module 2.4.
Knowledge node. Luỹ thừa theo mô-đun · Chu kỳ · Bình phương liên tiếp
Unit 4 · Fermat and Euler (Định lý Fermat nhỏ và hàm Euler)
Tôi sẽ làm được dùng hai định lý này để rút gọn số mũ về một khoảng nhỏ.
Mastery level 11-12 · Lớp 11-12 · Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Nhớ phát biểu nhưng không nhận ra lúc dùng |
| Đạt | Áp dụng đúng khi mô-đun nguyên tố, kiểm điều kiện trước |
| Vững | Dùng hàm Euler cho mô-đun hợp số, và kiểm điều kiện nguyên tố cùng nhau |
Bằng chứng đạt. Learner rút gọn một số mũ khổng lồ về dưới giá trị hàm Euler, có nêu điều kiện áp dụng.
Hiểu lầm thường gặp. Cứ có luỹ thừa lớn là dùng Fermat nhỏ. Định lý đòi mô-đun nguyên tố và cơ số không chia hết cho nó. Bỏ qua điều kiện là chỗ mất điểm phổ biến, và ở Olympiad thì mất trọn bài chứ không mất một phần.
Knowledge node. Định lý Fermat nhỏ · Hàm Euler · Điều kiện nguyên tố cùng nhau
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Hỏi "chữ số tận cùng của 7 mũ 2026 là gì" ngay từ đầu, không dạy gì trước. Learner sẽ thử nhân và bỏ cuộc, rồi tự nhìn ra chu kỳ.
Khuôn dạy. Bảng chu kỳ tập thể:
Cả lớp cùng tính 7^1, 7^2, 7^3, ... và chỉ ghi CHỮ SỐ TẬN CÙNG
↓
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...
↓
"Thấy gì? Chu kỳ dài bao nhiêu?"
↓
"Vậy 7^2026 thì sao? 2026 chia 4 dư mấy?"
↓
"Thử với cơ số khác: 3, 2, 8. Chu kỳ có luôn dài 4 không?"Câu cuối rất quan trọng: nó ngăn learner rút ra một quy luật quá vội, và dẫn tới câu hỏi chu kỳ phụ thuộc vào cái gì, tức là cửa vào unit 4.