Module 3.3 · Algebraic manipulation (Biến đổi đại số)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi biến đổi một biểu thức về dạng làm lộ ra điều tôi cần, thay vì biến đổi cho tới khi may mắn.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 4 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | Nền tảng tới Olympiad |
| Key concept chính | Form (Hình thái) · Pattern (Quy luật) |
Unit 1 · Expressions and identities (Biểu thức và hằng đẳng thức)
Tôi sẽ làm được nhận ra hằng đẳng thức quen dưới lớp vỏ lạ.
Mastery level 4-9 · Lớp 6-10 · Nền tảng tới AMC 10 · Form (Hình thái)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thuộc hằng đẳng thức nhưng chỉ nhận ra khi viết đúng dạng chuẩn |
| Đạt | Nhận ra khi các hạng tử bị đảo thứ tự hoặc đổi dấu |
| Vững | Nhận ra khi hằng đẳng thức ẩn trong một biểu thức lớn hơn |
Bằng chứng đạt. Learner nhìn x⁴ + 4 và nhận ra nó phân tích được, dù không có dạng chuẩn nào lộ ra.
Hiểu lầm thường gặp. Thuộc bảy hằng đẳng thức là xong. Thuộc là điều kiện; nhận ra mới là kỹ năng, và nó cùng loại với việc nhận dạng bài toán ở Package 1. Đề thi đấu luôn giấu dạng chuẩn.
Knowledge node. Hằng đẳng thức · Nhận dạng biểu thức · Biến đổi tương đương
Unit 2 · Factoring as pattern recognition (Phân tích nhân tử là nhận dạng)
Tôi sẽ làm được phân tích nhân tử bằng cách nhìn ra cấu trúc, không bằng cách thử mọi cách.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thử lần lượt mọi kỹ thuật đã học |
| Đạt | Nhìn bậc và số hạng để đoán kỹ thuật phù hợp |
| Vững | Dùng được thêm bớt hạng tử và tách hạng tử để tạo ra dạng phân tích được |
Bằng chứng đạt. Learner phân tích một đa thức bằng cách thêm rồi bớt cùng một hạng tử, và giải thích được vì sao nghĩ tới bước đó.
Hiểu lầm thường gặp. Phân tích nhân tử là kỹ thuật biến đổi. Nó là nhận dạng một dạng quen dưới lớp vỏ lạ, cùng loại năng lực với Package 2. Learner giỏi không thử nhiều cách hơn, họ đoán đúng cách ngay từ đầu vì đã đọc được cấu trúc.
Knowledge node. Phân tích nhân tử · Thêm bớt hạng tử · Tách hạng tử
Unit 3 · Substitution (Đặt ẩn phụ)
Tôi sẽ làm được đặt ẩn phụ để biến một biểu thức cồng kềnh thành một dạng quen.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Simplification (Đơn giản hoá)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Khai triển hết ra rồi vật lộn với biểu thức khổng lồ |
| Đạt | Đặt ẩn phụ cho cụm lặp lại và giải bài gọn hơn |
| Vững | Nhận ra cụm nào đáng đặt, và nhớ đổi điều kiện của ẩn phụ |
Bằng chứng đạt. Learner đặt t = x + 1/x cho một phương trình đối xứng và nêu đúng điều kiện của t.
Hiểu lầm thường gặp. Đặt ẩn phụ xong là bài trở thành bài mới, không cần để ý gì nữa. Ẩn phụ mang theo điều kiện, và quên nó là nguồn nghiệm ngoại lai. Đây là chỗ mất điểm kinh điển ở mọi kỳ thi.
Knowledge node. Đặt ẩn phụ · Điều kiện của ẩn phụ · Nghiệm ngoại lai
Unit 4 · Symmetric expressions (Biểu thức đối xứng)
Tôi sẽ làm được nhận ra biểu thức đối xứng và biểu diễn nó qua tổng và tích.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Form (Hình thái)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Xử lý từng biến riêng, biểu thức phình ra |
| Đạt | Biểu diễn biểu thức đối xứng qua tổng và tích các biến |
| Vững | Kết hợp với định lý Vi-ét để chuyển bài về hệ số của một đa thức |
Bằng chứng đạt. Learner tính a² + b² khi chỉ biết a + b và ab, rồi mở rộng cho a³ + b³.
Hiểu lầm thường gặp. Muốn tính biểu thức của a và b thì phải tìm được a và b. Với biểu thức đối xứng thì không cần: chỉ cần tổng và tích, và điều đó cứu rất nhiều bài mà nghiệm rất xấu.
Knowledge node. Biểu thức đối xứng · Tổng và tích · Định lý Vi-ét
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa x⁴ + 4 và hỏi phân tích. Learner sẽ khẳng định không phân tích được. Để nguyên phán đoán đó vài phút.
Khuôn dạy. Thêm bớt để tạo dạng:
"x⁴ + 4 có phân tích được không?" Đa số nói không.
↓
Gợi ý duy nhất: "nếu là x⁴ + 4x² + 4 thì sao?"
↓
Learner nhận ra đó là bình phương của một tổng
↓
"Vậy ta thêm 4x² rồi bớt 4x² đi có được không?"
↓
Bài sụp xuống thành hiệu hai bình phươngBước thêm rồi bớt cùng một lượng trông như trò ảo thuật ở lần đầu và thành công cụ thường trực sau vài lần. Điểm quan trọng khi dạy: đừng đưa lời giải, chỉ đưa câu hỏi gợi dạng quen.