Module 3.4 · Equations and inequalities (Phương trình và bất đẳng thức)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi giải được phương trình và chứng minh được bất đẳng thức, và tôi luôn biết dấu bằng xảy ra ở đâu.
| Unit | 5 |
| Mastery level | 3 tới 12 |
| Lớp (VN) | 5 tới 12 |
| Mức thi đấu | Nền tảng tới Olympiad |
| Key concept chính | Relationships (Quan hệ) · Justification (Căn cứ) |
Unit 1 · Linear equations and systems (Phương trình bậc nhất và hệ)
Tôi sẽ làm được giải hệ bằng cách chọn phương pháp ít bước nhất.
Mastery level 3-8 · Lớp 5-9 · Nền tảng tới AMC 10 · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Luôn dùng một phương pháp duy nhất |
| Đạt | Giải được bằng cả thế và cộng đại số |
| Vững | Nhìn hệ và chọn ngay cách ít bước hơn; nhận ra hệ có cấu trúc đối xứng |
Bằng chứng đạt. Learner cộng hai phương trình để ra ngay x + y khi đề chỉ hỏi x + y, không giải tìm từng ẩn.
Hiểu lầm thường gặp. Giải hệ nghĩa là tìm từng ẩn. Nhiều bài chỉ hỏi một biểu thức của các ẩn, và biểu thức đó lấy được trực tiếp mà không cần biết từng giá trị. Đây là chỗ tiết kiệm thời gian lớn nhất ở phần đại số thi đấu.
Knowledge node. Hệ phương trình · Phương pháp thế · Cộng đại số · Hệ đối xứng
Unit 2 · Quadratics and Vieta (Bậc hai và định lý Vi-ét)
Tôi sẽ làm được đọc tổng và tích nghiệm thẳng từ hệ số, không cần giải phương trình.
Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Luôn dùng công thức nghiệm rồi mới tính tiếp |
| Đạt | Dùng Vi-ét để tính biểu thức của hai nghiệm |
| Vững | Đi ngược: dựng phương trình từ tổng và tích, và dùng cho bài bậc cao hơn |
Bằng chứng đạt. Learner tính tổng bình phương hai nghiệm mà không giải phương trình, kể cả khi nghiệm vô tỉ.
Hiểu lầm thường gặp. Vi-ét là mẹo kiểm tra nghiệm. Nó là cầu nối giữa hệ số và nghiệm, và nó cứu mọi bài có nghiệm xấu. Kết hợp với biểu thức đối xứng ở Unit 3.3.4 thì phủ được một mảng lớn đề AMC và AIME.
Knowledge node. Phương trình bậc hai · Định lý Vi-ét · Biểu thức của nghiệm
Unit 3 · Basic inequalities (Bất đẳng thức cơ bản)
Tôi sẽ làm được chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương về một dạng hiển nhiên đúng.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Biến đổi lung tung, không có đích rõ ràng |
| Đạt | Biến đổi về dạng bình phương không âm |
| Vững | Biết đi ngược từ đích: viết ra dạng cuối muốn có, rồi lần ngược lên |
Bằng chứng đạt. Learner chứng minh một bất đẳng thức hai biến bằng cách đưa về (a - b)² ≥ 0, và trình bày theo chiều xuôi.
Hiểu lầm thường gặp. Chứng minh bất đẳng thức là biến đổi mãi rồi sẽ ra. Có một đích rất cụ thể: đưa về tổng các bình phương. Biết đích thì mọi bước biến đổi có hướng, và đây cũng là chỗ Unit 2.1.3 về đi ngược phát huy tác dụng.
Knowledge node. Bất đẳng thức · Bình phương không âm · Biến đổi tương đương
Unit 4 · AM-GM and Cauchy (AM-GM và Cauchy-Schwarz)
Tôi sẽ làm được dùng hai bất đẳng thức mạnh này, và kiểm điều kiện áp dụng trước.
Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Áp dụng máy móc, quên điều kiện các số không âm |
| Đạt | Áp dụng đúng cho hai và ba số, kiểm điều kiện |
| Vững | Chọn cách ghép hạng tử sao cho dấu bằng đạt được, không chỉ để ra bất đẳng thức đúng |
Bằng chứng đạt. Learner áp AM-GM theo một cách ghép cho kết quả chặt, sau khi thử một cách ghép khác cho kết quả lỏng.
Hiểu lầm thường gặp. Áp AM-GM là ra đáp án. Áp sai cách ghép cho một bất đẳng thức đúng nhưng vô dụng, vì dấu bằng không bao giờ xảy ra. Nghệ thuật nằm ở cách ghép, không ở việc nhớ công thức.
Knowledge node. AM-GM · Cauchy-Schwarz · Điều kiện áp dụng · Cách ghép hạng tử
Unit 5 · When equality holds (Dấu bằng xảy ra khi nào)
Tôi sẽ làm được tìm điểm dấu bằng, vì đó mới là câu trả lời cho bài hỏi giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Justification (Căn cứ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chứng minh xong bất đẳng thức là dừng |
| Đạt | Chỉ ra điều kiện dấu bằng và kiểm nó thoả ràng buộc của đề |
| Vững | Đoán điểm dấu bằng trước bằng đối xứng, rồi chọn cách chứng minh phù hợp |
Bằng chứng đạt. Learner đoán dấu bằng ở a = b = c bằng đối xứng, dùng nó để chọn cách ghép AM-GM, rồi chứng minh.
Hiểu lầm thường gặp. Chứng minh được bất đẳng thức là trả lời được bài. Bài hỏi giá trị nhỏ nhất đòi hai việc: chứng minh biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng một số, và chỉ ra số đó đạt được. Thiếu vế sau thì chưa trả lời, và đó là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở dạng này.
Knowledge node. Điểm dấu bằng · Giá trị lớn nhất nhỏ nhất · Điều kiện đạt được
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Cho một bài tìm giá trị nhỏ nhất, và để learner chứng minh xong bất đẳng thức rồi dừng. Sau đó hỏi: "vậy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?"
Khuôn dạy. Hai cách ghép, hai kết quả:
Một bài AM-GM. Chia lớp hai nhóm, mỗi nhóm một cách ghép hạng tử.
↓
Cả hai nhóm đều ra một bất đẳng thức ĐÚNG
↓
Nhưng hai kết quả khác nhau: một cái chặt, một cái lỏng
↓
"Cả hai đều đúng. Vì sao chỉ một cái trả lời được bài?"
↓
Kiểm dấu bằng: nhóm lỏng có dấu bằng không đạt đượcĐây là khuôn dạy hiệu quả nhất cho unit 5, vì learner tận mắt thấy một lời giải đúng mà vô dụng. Sau đó việc kiểm dấu bằng thành phản xạ chứ không phải một bước bị nhắc.