Module 3.6 · Integer problems (Bài toán số nguyên)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi dùng chính điều kiện nguyên làm công cụ, vì nó biến vô hạn khả năng thành hữu hạn trường hợp.
| Unit | 3 |
| Mastery level | 6 tới 12 |
| Lớp (VN) | 7 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) · Quantity (Lượng) |
Unit 1 · Diophantine equations (Phương trình nghiệm nguyên)
Tôi sẽ làm được giải phương trình khi ẩn buộc phải nguyên, bằng cách khai thác chính ràng buộc đó.
Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AIME tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Giải như phương trình thường rồi lọc nghiệm nguyên ở cuối |
| Đạt | Đưa về dạng tích rồi xét các cách phân tích |
| Vững | Kết hợp chặn giá trị và xét số dư để giảm về vài trường hợp |
Bằng chứng đạt. Learner đưa một phương trình hai ẩn về dạng tích, liệt kê các cặp ước, và ra hết nghiệm.
Hiểu lầm thường gặp. Điều kiện nguyên là một ràng buộc phiền phải kiểm ở cuối. Nó là công cụ mạnh nhất của cả module: một phương trình có vô hạn nghiệm thực có thể chỉ có ba nghiệm nguyên, và đưa về dạng tích khai thác đúng điều đó.
Knowledge node. Phương trình nghiệm nguyên · Đưa về dạng tích · Xét ước
Unit 2 · Digit problems (Bài toán chữ số)
Tôi sẽ làm được viết một số theo chữ số của nó, để chuyển bài chữ số thành bài đại số.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Representation (Biểu diễn)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thử từng số cho tới khi trúng |
| Đạt | Viết số hai chữ số thành 10a + b và lập phương trình |
| Vững | Nhớ kèm ràng buộc của chữ số: a từ 1 tới 9, b từ 0 tới 9 |
Bằng chứng đạt. Learner giải một bài đổi chỗ chữ số bằng đại số, và loại nghiệm vi phạm ràng buộc chữ số.
Hiểu lầm thường gặp. Bài chữ số phải thử. Viết 10a + b biến nó thành bài đại số bình thường, và ràng buộc chữ số làm số trường hợp còn rất ít. Bỏ quên ràng buộc a ≠ 0 là lỗi phổ biến nhất ở dạng này.
Knowledge node. Biểu diễn theo chữ số · Hệ cơ số 10 · Ràng buộc chữ số
Unit 3 · Bounding an integer solution (Chặn nghiệm nguyên)
Tôi sẽ làm được chặn nghiệm vào một khoảng hữu hạn, rồi xét hết khoảng đó.
Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Quantity (Lượng)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Không biết dừng, thử số mãi không có điểm kết |
| Đạt | Chặn được một phía và giảm số trường hợp |
| Vững | Chặn cả hai phía rồi kiểm hết, nên lời giải trở thành đầy đủ chứ không chỉ là ví dụ |
Bằng chứng đạt. Learner chứng minh nghiệm phải nằm giữa hai giá trị cụ thể, rồi kiểm từng trường hợp trong khoảng đó.
Hiểu lầm thường gặp. Tìm ra vài nghiệm là xong. Đề đòi tìm tất cả, nên phải chứng minh không còn nghiệm nào ngoài khoảng đã xét. Chặn hai phía chính là cách biến một lời giải liệt kê thành một chứng minh đầy đủ.
Knowledge node. Chặn nghiệm · Xét hữu hạn trường hợp · Chứng minh đầy đủ
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa một phương trình nghiệm nguyên và để learner thử số. Sau vài phút hỏi: "em định thử tới bao giờ?"
Khuôn dạy. Từ thử vô hạn tới chặn hữu hạn:
Một phương trình hai ẩn nguyên dương
↓
Learner thử và tìm được vài nghiệm
↓
"Còn nghiệm nào nữa không? Làm sao chắc chắn?"
↓
"Nếu x lớn hơn 10 thì vế trái đã lớn hơn vế phải chưa?"
↓
Learner tự chặn được x, và bài từ vô hạn thành mười trường hợpCâu "em định thử tới bao giờ" là câu chuyển trạng thái: nó đưa learner từ chỗ tìm nghiệm sang chỗ chứng minh đã hết nghiệm, và đó là ranh giới giữa lời giải AMC và lời giải Olympiad.
Kết thúc Package 3
Number structure nhìn số qua dạng thừa số
Modular arithmetic làm việc với số dư thay vì với số
Manipulation biến đổi có đích, không biến đổi cầu may
Equations và luôn biết dấu bằng ở đâu
Functions, sequences thăm dò bằng giá trị đặc biệt
Integer problems dùng điều kiện nguyên làm công cụ