Module 3.5 · Functions and sequences (Hàm số và dãy số)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi coi hàm số là một quy tắc để thăm dò, nên tôi thử giá trị đặc biệt thay vì chờ có công thức.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 5 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Relationships (Quan hệ) · Pattern (Quy luật) |
Unit 1 · Functional thinking (Tư duy hàm)
Tôi sẽ làm được coi hàm số là quy tắc nhận vào trả ra, nên tôi thăm dò được nó bằng giá trị cụ thể.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Coi f(x) là một cách viết lạ của y, cần có công thức mới làm được |
| Đạt | Tính được f(a + 1), f(f(x)) từ định nghĩa |
| Vững | Thăm dò một hàm chưa biết công thức bằng cách thay giá trị đặc biệt: 0, 1, chính nó |
Bằng chứng đạt. Learner gặp một hàm cho bởi tính chất, thay x = 0 và x = y, và rút ra được thông tin.
Hiểu lầm thường gặp. Không có công thức thì không làm gì được. Với hàm cho bởi tính chất, thay giá trị đặc biệt là công cụ chính, và công thức thường là thứ tìm ra sau cùng chứ không phải thứ có sẵn từ đầu.
Knowledge node. Hàm số · Hàm hợp · Thăm dò bằng giá trị đặc biệt
Unit 2 · Arithmetic and geometric sequences (Cấp số cộng và cấp số nhân)
Tôi sẽ làm được nhận ra loại dãy từ dữ liệu, bằng cách kiểm hiệu số và kiểm tỉ số.
Mastery level 5-10 · Lớp 6-11 · AMC 8 tới AIME · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Đoán loại dãy theo cảm giác tăng nhanh hay chậm |
| Đạt | Kiểm hiệu số và tỉ số để xác định loại dãy |
| Vững | Tính tổng nhanh bằng cách ghép cặp đầu cuối thay vì cộng lần lượt |
Bằng chứng đạt. Learner tính tổng một cấp số cộng dài bằng cách ghép cặp, và giải thích được vì sao cách đó đúng.
Hiểu lầm thường gặp. Tăng nhanh nghĩa là cấp số nhân. Một cấp số cộng với công sai lớn cũng tăng rất nhanh. Dấu hiệu phân biệt là hiệu không đổi hay tỉ số không đổi, và đó là phép kiểm hai dòng, không phải cảm giác.
Knowledge node. Cấp số cộng · Cấp số nhân · Tổng dãy · Ghép cặp
Unit 3 · Recurrences (Dãy truy hồi)
Tôi sẽ làm được lập hệ thức truy hồi từ bài toán, và tính giá trị xa bằng nó.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tính từng số hạng một tới khi mệt |
| Đạt | Lập được hệ thức truy hồi và trường hợp cơ sở |
| Vững | Nhận ra truy hồi cũng có chu kỳ theo mô-đun, và dùng nó cho chỉ số rất lớn |
Bằng chứng đạt. Learner tìm số dư của số hạng thứ 2026 của một dãy truy hồi, bằng chu kỳ số dư chứ không tính hết.
Hiểu lầm thường gặp. Có hệ thức truy hồi thì phải tìm công thức tổng quát. Rất nhiều bài không cần công thức tổng quát: chỉ cần chu kỳ theo mô-đun, và tìm chu kỳ dễ hơn nhiều. Đây là chỗ Module 3.2 gặp lại phần dãy số.
Knowledge node. Hệ thức truy hồi · Trường hợp cơ sở · Chu kỳ của dãy theo mô-đun
Unit 4 · Functional equations (Phương trình hàm)
Tôi sẽ làm được giải phương trình hàm bằng cách thay giá trị đặc biệt và lần ra tính chất.
Mastery level 11-12 · Lớp 11-12 · Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Đoán một hàm rồi kiểm, không có phương pháp |
| Đạt | Thay các giá trị đặc biệt để rút ra tính chất của hàm |
| Vững | Chứng minh hàm tìm được là duy nhất, không chỉ chỉ ra một hàm thoả |
Bằng chứng đạt. Learner tìm ra hàm thoả và chứng minh không còn hàm nào khác, thay vì dừng ở chỗ đoán trúng.
Hiểu lầm thường gặp. Tìm được một hàm thoả là giải xong. Đề đòi tìm tất cả các hàm, nên chỉ ra một hàm là mới xong một nửa. Đây là lỗi mất nửa số điểm rất phổ biến ở Olympiad, và nó thuộc cùng loại với Package 5 về việc chứng minh phải phủ những gì.
Knowledge node. Phương trình hàm · Giá trị đặc biệt · Tính duy nhất của nghiệm hàm
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa một phương trình hàm đơn giản và không dạy phương pháp nào. Để learner đoán bừa vài hàm, rồi hỏi "làm sao biết không còn hàm nào khác".
Khuôn dạy. Thăm dò bằng giá trị đặc biệt:
Một phương trình hàm với f chưa biết
↓
"Thay x = 0 xem được gì." Learner thử.
↓
"Thay y = 0. Thay y = x. Thay x = 1."
↓
Mỗi lần thay cho một mảnh thông tin. Ghi hết lên bảng.
↓
"Ghép các mảnh lại. Giờ ta biết gì về f?"Điểm dạy quan trọng: các giá trị đặc biệt không phải mẹo mà là cách duy nhất để lấy thông tin khi hàm chưa biết. Learner làm quen với nhịp thay, thu thông tin, ghép lại sẽ không còn thấy phương trình hàm là loại bài bí ẩn.