Package 4 · Space and Counting (Không gian và đếm)
Thuộc Curriculum Advanced Mathematics. Package công cụ thứ hai.
Tôi nắm chắc hình học và tổ hợp, hai mảng mà trực giác hay sai và vì thế cần công cụ chặt.
| Module | 6 |
| Unit | 23 |
| Mastery level | 3 tới 12 |
| Lớp (VN) | 5 tới 12 |
| Mức thi đấu | Nền tảng tới Olympiad |
| Key concept chính | Space (Không gian) · Quantity (Lượng) |
Package này gom LP4, LP5 và LP7 của bản đề xuất gốc. Hai mảng này đứng chung một package vì chúng có một điểm chung quan trọng: trực giác sai một cách có hệ thống ở cả hai, nên cả hai đều cần quy trình chặt thay vì cảm giác.
Module trong package
| Module | Nội dung | Unit |
|---|---|---|
| 4.1 · Triangle geometry (Hình học tam giác) | Bằng nhau, đồng dạng, tỉ số, Pythagoras | 4 |
| 4.2 · Circle geometry (Hình học đường tròn) | Dây, góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, phương tích | 4 |
| 4.3 · Area and ratio (Diện tích và tỉ số) | Diện tích như một công cụ tính tỉ số | 3 |
| 4.4 · Coordinates and transformations (Toạ độ và phép biến hình) | Toạ độ, đối xứng, quay, vị tự | 4 |
| 4.5 · Counting (Đếm) | Đếm có hệ thống, hoán vị, tổ hợp, bao hàm loại trừ | 5 |
| 4.6 · Probability and expectation (Xác suất và kỳ vọng) | Xác suất, xác suất điều kiện, kỳ vọng | 3 |
Toàn bộ unit
| Unit | Mastery (B21) | Lớp (VN) | Mức thi đấu | Key concept |
|---|---|---|---|---|
| 4.1.1 Angles and triangles (Góc và tam giác) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Space |
| 4.1.2 Congruence and similarity (Bằng nhau và đồng dạng) | 5-10 | 6-10 | AMC 8 - AMC 12 | Relationships |
| 4.1.3 Pythagoras and its uses (Pythagoras và cách dùng) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Measurement |
| 4.1.4 Cevians, medians, bisectors (Cevian, trung tuyến, phân giác) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Relationships |
| 4.2.1 Chords and arcs (Dây cung và cung) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Space |
| 4.2.2 Inscribed angles (Góc nội tiếp) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Relationships |
| 4.2.3 Cyclic quadrilaterals (Tứ giác nội tiếp) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Form |
| 4.2.4 Power of a point (Phương tích của một điểm) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Relationships |
| 4.3.1 Area formulas and when to use which (Công thức diện tích, dùng cái nào khi nào) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Measurement |
| 4.3.2 Area as a ratio tool (Dùng diện tích để tính tỉ số) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Relationships |
| 4.3.3 Same base, same height (Chung đáy, chung đường cao) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Relationships |
| 4.4.1 Coordinates as a fallback (Toạ độ như đường lui) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Representation |
| 4.4.2 Reflection and rotation (Đối xứng và phép quay) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Space |
| 4.4.3 Homothety (Phép vị tự) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Form |
| 4.4.4 Choose synthetic or coordinate (Chọn hình học thuần hay toạ độ) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 4.5.1 Count systematically (Đếm có hệ thống) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Quantity |
| 4.5.2 Permutations and combinations (Hoán vị và tổ hợp) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Quantity |
| 4.5.3 Overcounting and correcting (Đếm thừa và sửa lại) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Logic |
| 4.5.4 Inclusion and exclusion (Bao hàm và loại trừ) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Systems |
| 4.5.5 Bijection (Song ánh: đếm cái này bằng cách đếm cái kia) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Equivalence |
| 4.6.1 Probability as counting (Xác suất là một phép đếm) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Quantity |
| 4.6.2 Conditional probability (Xác suất điều kiện) | 9-12 | 10-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 4.6.3 Expected value (Kỳ vọng) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Quantity |
Chỗ hay bị bỏ qua
Unit 4.5.3 là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả mảng tổ hợp, và nó không phải lỗi tính toán. Learner đếm ra một con số, và con số đó đếm thừa vì cùng một cấu hình được đếm hai lần dưới hai cách nhìn. Kỹ năng thật ở đây là kiểm xem mình có đang đếm trùng không, và nó cần một thói quen chứ không cần công thức.
Unit 4.5.5 là kỹ thuật đẹp nhất của tổ hợp thi đấu: thay vì đếm thứ khó đếm, chỉ ra nó tương ứng một một với thứ dễ đếm. Đây là ý mà learner gặp lần đầu thường thấy như ảo thuật, và sau đó dùng được suốt đời.
Unit 4.4.4 là quyết định chiến lược của mảng hình học. Toạ độ luôn dùng được nhưng thường dài; hình học thuần ngắn nhưng đòi nhìn ra ý. Chọn sai làm một bài mười phút thành ba mươi phút, và learner mạnh là learner quyết định trong một phút đầu chứ không phải learner giỏi cả hai.