Module 3.1 · Number structure (Cấu trúc số)
Thuộc Package 3 · Number and Algebra.
Tôi nhìn một số nguyên và thấy cấu trúc thừa số của nó, không chỉ thấy giá trị của nó.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 3 tới 12 |
| Lớp (VN) | 5 tới 12 |
| Mức thi đấu | Nền tảng tới Olympiad |
| Key concept chính | Form (Hình thái) · Relationships (Quan hệ) |
Unit 1 · Primes and factorization (Số nguyên tố và phân tích)
Tôi sẽ làm được phân tích một số ra thừa số nguyên tố và dùng dạng đó thay cho giá trị.
Mastery level 3-8 · Lớp 5-9 · Nền tảng tới AMC 10 · Form (Hình thái)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Phân tích được nhưng vẫn làm việc với giá trị số |
| Đạt | Dùng dạng thừa số để so sánh, rút gọn, tìm ước |
| Vững | Coi dạng thừa số là cách viết chính của một số nguyên trong bài toán số học |
Bằng chứng đạt. Learner so sánh hai số lớn bằng dạng thừa số mà không nhân ra kết quả.
Hiểu lầm thường gặp. Phân tích thừa số là bước phụ để tìm ước chung. Với bài số học thi đấu, dạng thừa số là dạng làm việc: mọi câu hỏi về chia hết, về số ước, về ước chung đều đọc thẳng ra từ đó, còn giá trị số thì không nói gì.
Knowledge node. Số nguyên tố · Phân tích ra thừa số nguyên tố · Tính duy nhất của phân tích
Unit 2 · Divisibility rules and why they work (Dấu hiệu chia hết và vì sao đúng)
Tôi sẽ làm được chứng minh dấu hiệu chia hết, nên tôi tự suy ra được dấu hiệu chưa ai dạy.
Mastery level 4-9 · Lớp 5-10 · Nền tảng tới AMC 10 · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Học thuộc dấu hiệu cho 2, 3, 5, 9 |
| Đạt | Giải thích được vì sao dấu hiệu cho 3 và 9 đúng |
| Vững | Tự suy ra dấu hiệu cho 11, và cho những số chưa ai dạy |
Bằng chứng đạt. Learner dựng được dấu hiệu chia hết cho 7 hoặc 11 từ số dư của luỹ thừa 10, không tra sách.
Hiểu lầm thường gặp. Dấu hiệu chia hết là danh sách mẹo phải nhớ. Tất cả đều là hệ quả của số dư của luỹ thừa 10 theo số đó, và hiểu một lần thì suy ra được cả họ. Đây là ví dụ rõ nhất cho triết lý của môn: hiểu cơ chế thay được cho học thuộc danh sách.
Knowledge node. Dấu hiệu chia hết · Luỹ thừa của 10 theo mô-đun · Chứng minh dấu hiệu
Unit 3 · GCD and LCM (Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất)
Tôi sẽ làm được tính và dùng ước chung, bội chung qua dạng thừa số, và hiểu quan hệ giữa chúng.
Mastery level 5-10 · Lớp 6-10 · AMC 8 tới AMC 12 · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tính được nhưng không dùng vào bài toán có ngữ cảnh |
| Đạt | Nhận ra bài chu kỳ gặp nhau là bài bội chung nhỏ nhất |
| Vững | Dùng hệ thức tích của hai số bằng tích ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất để giải ngược |
Bằng chứng đạt. Đề cho ước chung lớn nhất và tích hai số, learner tìm ra bội chung nhỏ nhất không cần biết hai số đó.
Hiểu lầm thường gặp. Ước chung và bội chung là hai chủ đề riêng. Chúng là hai mặt của cùng một dạng thừa số: một cái lấy số mũ nhỏ hơn, một cái lấy số mũ lớn hơn. Thấy được điều đó thì mọi bài hỗn hợp trở nên hiển nhiên.
Knowledge node. Ước chung lớn nhất · Bội chung nhỏ nhất · Thuật toán Euclid
Unit 4 · Counting divisors (Đếm số ước)
Tôi sẽ làm được đếm số ước của một số từ dạng thừa số, và giải bài ngược lại.
Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Quantity (Lượng)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Liệt kê tay từng ước |
| Đạt | Dùng công thức nhân các số mũ cộng một |
| Vững | Giải bài ngược: tìm số nhỏ nhất có đúng n ước |
Bằng chứng đạt. Learner tìm số nguyên dương nhỏ nhất có đúng 12 ước, và giải thích được vì sao phải phân bố số mũ theo cách đó.
Hiểu lầm thường gặp. Công thức đếm ước là một mẹo. Nó là phép đếm tổ hợp: chọn số mũ cho từng thừa số nguyên tố một cách độc lập, nên số cách là tích các lựa chọn. Nhìn thấy nó là bài đếm thì phần ngược cũng làm được.
Knowledge node. Số ước · Công thức đếm ước · Bài toán ngược về số ước
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Hỏi "số nhỏ nhất có đúng 12 ước là bao nhiêu" trước khi dạy công thức đếm ước. Learner sẽ liệt kê tay, thấy mệt, rồi mới cần công thức.
Khuôn dạy. Tự dựng dấu hiệu chia hết:
"Vì sao 123 chia hết cho 3 thì tổng chữ số cũng chia hết cho 3?"
↓
Gợi ý duy nhất: viết 123 = 100 + 20 + 3, rồi xét 100 và 10 chia 3 dư mấy
↓
Learner tự thấy 10 ≡ 1, nên mọi luỹ thừa của 10 cũng ≡ 1
↓
"Giờ thử với 11. 10 chia 11 dư mấy?"
↓
Learner tự dựng ra dấu hiệu tổng đan dấuCho learner tự dựng một dấu hiệu chưa ai dạy là khoảnh khắc chuyển từ học thuộc sang hiểu, và nó chỉ tốn mười lăm phút.