Package 3 · Reason & Prove (Lập luận và chứng minh)
"I can say why a step is valid." Con nói được vì sao bước này đúng.
Package chứa ý lớn nhất của môn Toán: mọi quy tắc là kết luận của một lập luận, và learner đi lại được lập luận đó. Bắt đầu từ lớp 1, không đợi tới hình học lớp 7.
Không có gì trong Toán đúng vì thầy nói nó đúng. Một learner lớp 2 nói được "vì cộng mấy cũng thế thôi, đổi chỗ không sao" đã đang chứng minh, chỉ là chưa dùng từ đó.
| Module | 6 |
| Unit | 29 |
| Mastery level | 1 tới 8 |
| Cấp 1-2 | tìm quy luật, giải thích cách làm |
| Cấp 3 | phản ví dụ, chứng minh hình học |
Module 3.1 · Find the pattern (Tìm quy luật)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| Patterns in shapes and numbers (Quy luật của dãy hình, dãy số) | 1-4 | 1-5 | Patterns (Quy luật) |
| Predict the next one and say why (Đoán số tiếp theo và nói vì sao) | 2-5 | 2-6 | Patterns (Quy luật) · Generalization (Khái quát hoá) |
| State the rule in a sentence (Phát biểu quy luật thành câu) | 4-7 | 5-9 | Generalization (Khái quát hoá) · Logic (Lô-gic) |
Ba unit này là một chuỗi: thấy quy luật, đoán được bước sau, rồi nói ra thành lời. Bước thứ ba khó hơn hẳn hai bước đầu và hay bị bỏ qua, nhưng nó chính là chỗ learner chuyển từ nhận ra sang khái quát hoá.
Module 3.2 · Why this step works (Vì sao bước này đúng)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| Explain your method to a friend (Giải thích cách làm cho bạn) | 1-4 | 1-5 | Justification (Căn cứ) · Communication (Giao tiếp) |
| Why this transformation keeps the value (Vì sao biến đổi này giữ nguyên kết quả) | 5-8 | 7-10 | Justification (Căn cứ) · Equivalence (Tương đương) |
| Conditions for an operation (Điều kiện để làm được phép tính) | 5-8 | 8-10 | Logic (Lô-gic) · Systems (Hệ thống) |
Unit giữa là chỗ "chuyển vế đổi dấu" thôi là câu thần chú và trở thành hệ quả: làm cùng một phép lên hai vế thì đẳng thức được bảo toàn. Learner hiểu điều đó không cần nhớ quy tắc nào cả.
Module 3.3 · When the rule breaks (Khi quy tắc không còn đúng)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| Find one case that breaks the rule (Tìm một trường hợp làm sai quy tắc) | 4-7 | 6-10 | Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ) |
| Multiplying does not always make bigger (Nhân không phải lúc nào cũng làm số to lên) | 5-7 | 6-7 | Logic (Lô-gic) · Change (Biến đổi) |
| The scope of a rule (Phạm vi áp dụng của một quy tắc) | 6-8 | 8-11 | Systems (Hệ thống) · Generalization (Khái quát hoá) |
Module này tồn tại vì một lý do cụ thể. Learner tự xây quy luật từ những gì mình gặp, và với số nguyên dương thì "nhân làm số to lên" luôn đúng. Quy luật đó có logic, chỉ là phạm vi bị hiểu quá rộng. Nói "sai rồi" không gỡ được nó; phải tạo ra một tình huống mà chính quy luật đó vỡ.
Unit Find one case that breaks the rule dạy một điều mạnh hơn cả nội dung: một phản ví dụ đủ để bác bỏ, nhưng một nghìn ví dụ đúng không đủ để chứng minh.
Module 3.4 · Proof (Chứng minh)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| If then reasoning (Suy luận nếu thì) | 5-7 | 7-10 | Logic (Lô-gic) |
| Direct proof (Chứng minh trực tiếp) | 7-8 | 8-11 | Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ) |
| Geometric proof with reasons (Chứng minh hình học có căn cứ) | 7-8 | 7-9 | Space (Không gian) · Justification (Căn cứ) |
| Proof by induction (Chứng minh quy nạp) | 10-12 | 11 | Logic (Lô-gic) · Generalization (Khái quát hoá) |
| Prove an inequality (Chứng minh bất đẳng thức) | 9-12 | 9-12 | Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ) |
Chữ with reasons trong unit cuối là ràng buộc thật: mỗi bước phải nêu được căn cứ, không chỉ đúng thứ tự. Một bài hình viết đủ bước mà không nói vì sao thì chưa đạt unit này.
Module 3.5 · Logic and sets (Mệnh đề và tập hợp)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| Statements and their negation (Mệnh đề và phủ định) | 9-11 | 10 | Logic (Lô-gic) |
| Necessary and sufficient (Điều kiện cần và đủ) | 9-12 | 10 | Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ) |
| Sets and operations on them (Tập hợp và phép toán) | 9-11 | 10 | Systems (Hệ thống) · Form (Hình thái) |
Chương trình trong nước đặt cụm này ở đầu lớp 10 như một chương riêng. Ở đây nó thuộc Package 3, vì nó chính là ngôn ngữ để viết một lập luận cho chặt, không phải một mảng kiến thức đứng một mình.
Module 3.6 · Examples and counterexamples (Ví dụ và phản ví dụ)
| Unit | Mastery level (B21) | Lớp (VN) | Key concept |
|---|---|---|---|
| One example proves nothing (Một ví dụ không chứng minh được gì) | 4-6 | 5 | Examples and counterexamples |
| One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ) | 6-8 | 6 | Examples and counterexamples |
| Choose test cases wisely (Chọn ví dụ để thử cho khéo) | 6-8 | 7 | Examples and counterexamples |
| Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không) | 8-10 | 8 | Examples and counterexamples |
| Generalise carefully (Tổng quát hoá một cách cẩn thận) | 9-11 | 9 | Examples and counterexamples |
Module này khép package lại bằng một ý gọn: một phản ví dụ đủ để bác bỏ, còn một nghìn ví dụ không đủ để chứng minh. Đó là bất đối xứng nền tảng của toán học, và learner nào nắm được sẽ đọc mọi khẳng định khác đi.
Vì sao package này bị bỏ nhiều nhất
Nó khó chấm bằng trắc nghiệm, khó chấm nhanh, và không xuất hiện trực tiếp trong phần lớn đề thi. Nên nó là package đầu tiên bị cắt khi thời gian eo hẹp.
Cái giá trả sau: learner có Package 2 mức 8 và Package 3 mức 3 sẽ làm rất tốt tới hết cấp 2, rồi vấp ở lớp 10, đúng lúc Package 3 mở thêm mệnh đề, tập hợp và quy nạp.
Dạy theo kiểu IB
Concept-based. Khái niệm dẫn dắt là Logic và Justification. Câu hỏi trung tâm không phải "làm thế nào" mà "làm sao em biết điều đó đúng".
Inquiry. Đây là package mà inquiry phát huy mạnh nhất. Khuôn chuẩn:
Đưa một quy luật đúng với mọi ví dụ learner từng gặp
↓
Learner tin nó luôn đúng, phát biểu thành câu
↓
Giáo viên đưa MỘT trường hợp làm nó vỡ
↓
"Vậy quy luật đúng trong phạm vi nào?"Ví dụ ở unit Multiplying does not always make bigger: cả lớp đồng ý "nhân thì số to lên", rồi gặp 6 × 0,5. Quy luật cũ vỡ bằng một ví dụ, và learner học được rằng một phản ví dụ đủ để bác bỏ, còn một nghìn ví dụ đúng thì không đủ để chứng minh.