Module 3.3 · When the rule breaks (Khi quy tắc không còn đúng)
Thuộc Package 3 · Reason & Prove. Module tồn tại để gỡ những quy luật mà learner tự xây đúng, rồi mở rộng quá tay.
…tìm được một trường hợp làm hỏng một quy tắc, và nói quy tắc đó đúng trong phạm vi nào.
| Unit | 3 |
| Mastery level | 4 tới 11 |
| Lớp (VN) | 6 tới 11 |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) |
Mọi hiểu lầm dai dẳng trong toán đều có cùng cấu trúc: một quy luật đúng trong phạm vi hẹp, bị dùng ngoài phạm vi đó. Learner không sai vì cẩu thả; em ấy đang áp dụng nhất quán một quy luật mình đã kiểm chứng nhiều lần.
Unit 1 · Find one case that breaks the rule (Tìm một trường hợp làm sai quy tắc)
Tôi sẽ làm được bác bỏ một khẳng định bằng đúng một ví dụ, và biết vì sao một ví dụ là đủ.
Mastery level 4-7 · Lớp 6-10 · Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Kiểm khẳng định bằng cách thử vài trường hợp thuận, thấy đúng thì kết luận đúng |
| Đạt | Chủ động đi tìm trường hợp làm hỏng: số 0, số âm, số 1, phân số |
| Vững | Biết một phản ví dụ đủ để bác bỏ, nhưng một nghìn ví dụ đúng không đủ để chứng minh |
Bằng chứng đạt. Cho khẳng định "bình phương của một số luôn lớn hơn số đó", learner tìm ngay ra 0,5 hoặc 1 thay vì thử 2, 3, 4 rồi gật đầu.
Hiểu lầm thường gặp. Thử nhiều ví dụ đúng là đã chứng minh. Đây là hiểu lầm nền tảng nhất về bản chất của chứng minh, và nó sống rất dai vì trong đời thường thì quy nạp kiểu đó lại hiệu quả.
Knowledge node. Phản ví dụ · Mệnh đề sai · Trường hợp đặc biệt (0, 1, số âm, phân số)
Unit 2 · Multiplying does not always make bigger (Nhân không phải lúc nào cũng làm số to lên)
Tôi sẽ làm được nói khi nào nhân làm số lớn lên, khi nào làm nhỏ đi, và vì sao.
Mastery level 5-7 · Lớp 6-7 · Logic (Lô-gic) · Change (Biến đổi)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tin rằng nhân luôn làm to, chia luôn làm nhỏ |
| Đạt | Biết nhân với số nhỏ hơn 1 làm kết quả nhỏ đi; chia cho số nhỏ hơn 1 làm to lên |
| Vững | Giải thích bằng ý nghĩa: nhân với 0,5 là lấy một nửa, chia cho 0,5 là hỏi có bao nhiêu nửa |
Bằng chứng đạt. Learner ước lượng 120 ÷ 0,4 lớn hơn 120 trước khi tính, và nói được vì sao.
Hiểu lầm thường gặp. Đúng như tên unit. Quy luật này đúng với mọi số tự nhiên learner gặp suốt năm năm đầu, nên tới lớp 6 nó đã rất chắc, và nó phá hỏng cả ước lượng lẫn việc chọn phép tính trong bài toán có lời văn.
Knowledge node. Nhân chia với số thập phân · Nhân với số nhỏ hơn 1 · Ý nghĩa phép chia · Ước lượng
Unit 3 · The scope of a rule (Phạm vi áp dụng của một quy tắc)
Tôi sẽ làm được nói một công thức đúng với những số nào, và cái gì xảy ra ngoài phạm vi đó.
Mastery level 6-8 · Lớp 8-11 · Systems (Hệ thống) · Generalization (Khái quát hoá)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Áp dụng công thức ở mọi nơi, không hỏi điều kiện |
| Đạt | Nêu được điều kiện đi kèm công thức, ví dụ √(ab) = √a·√b cần a, b ≥ 0 |
| Vững | Nhận ra khi một quy tắc được mở rộng sang miền mới thì phải định nghĩa lại, ví dụ luỹ thừa số mũ âm |
Bằng chứng đạt. Learner chỉ ra chỗ sai trong lập luận √((-4)(-9)) = √(-4)·√(-9), và nói rõ điều kiện nào bị vi phạm.
Hiểu lầm thường gặp. Công thức trong sách luôn đúng, không cần đọc điều kiện. Learner học công thức tách khỏi điều kiện đi kèm, nên áp nhầm miền mà không thấy có gì bất thường.
Knowledge node. Điều kiện của công thức · Căn bậc hai của tích · Luỹ thừa số mũ âm · Mở rộng định nghĩa
Dạy module này theo kiểu IB
Concept-based. Khái niệm dẫn dắt là Logic: một khẳng định toán học luôn kèm phạm vi, và ngoài phạm vi đó nó có thể sai.
Inquiry. Khuôn của cả module, và nó là khuôn quan trọng nhất trong toàn bộ Package 3:
Đưa một quy luật ĐÚNG với mọi ví dụ learner từng gặp
↓
Để learner kiểm vài trường hợp, tin chắc, phát biểu thành câu
↓
Giáo viên đưa MỘT trường hợp làm nó vỡ
↓
"Vậy quy luật đúng khi nào? Viết lại cho chính xác."Điểm mấu chốt: để learner tin chắc trước đã. Cảnh báo trước rằng "quy tắc này có ngoại lệ đấy" làm hỏng toàn bộ giá trị, vì learner sẽ ghi nhớ ngoại lệ như một mục phải thuộc thay vì trải nghiệm cảm giác một niềm tin của mình bị bác bỏ.
Ba trường hợp phá đáng dùng nhất: 6 × 0,5 cho quy luật nhân làm to; 0,25 với 0,3 cho quy luật số dài hơn thì lớn hơn; a = b = 1 cho (a+b)² = a² + b².
Unit 4 · Dividing by a number less than one (Chia cho số bé hơn 1)
Tôi sẽ làm được hiểu vì sao chia cho số bé hơn 1 lại cho kết quả lớn hơn.
Mastery level 5-7 · Lớp 5-7 · Quantity (Lượng) · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tin rằng chia thì luôn nhỏ đi |
| Đạt | Tính đúng và chấp nhận kết quả lớn hơn số bị chia |
| Vững | Giải thích bằng nghĩa của phép chia: có bao nhiêu nửa trong 3 thì đáp án phải là 6 |
Bằng chứng đạt. Learner giải thích được 3 : 0,5 = 6 bằng một câu chuyện thực tế, không bằng quy tắc nhân nghịch đảo.
Hiểu lầm thường gặp. Chia thì nhỏ đi, nhân thì lớn lên. Quy tắc này đúng suốt những năm học số tự nhiên rồi gãy khi gặp số bé hơn 1, và learner giữ nó thường tự sửa đáp án đúng thành sai vì thấy vô lý.
Knowledge node. Chia cho phân số · Nghĩa của phép chia · Giới hạn của quy tắc
Unit 5 · Negatives flip an inequality (Số âm làm đảo chiều bất đẳng thức)
Tôi sẽ làm được nhớ đảo chiều dấu khi nhân hoặc chia hai vế cho số âm, và nói được vì sao.
Mastery level 7-9 · Lớp 7-9 · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Giữ nguyên chiều dấu khi nhân với số âm |
| Đạt | Đảo chiều đúng lúc cần |
| Vững | Giải thích bằng trục số: nhân với số âm là lật toàn bộ trục, nên thứ tự đảo theo |
Bằng chứng đạt. Learner tự kiểm một bất phương trình bằng cách thế một giá trị cụ thể, và phát hiện mình quên đảo dấu.
Hiểu lầm thường gặp. Bất phương trình giải giống hệt phương trình. Giống ở gần hết các bước, và khác đúng một chỗ, nên chỗ khác đó rất dễ trôi qua. Cách phòng bền nhất là thế thử một giá trị, không phải nhớ thêm một quy tắc.
Knowledge node. Bất phương trình · Nhân với số âm · Trục số · Thế giá trị để kiểm