Module 3.6 · Examples and counterexamples (Ví dụ và phản ví dụ)
Thuộc Package 3 · Reason and Prove. Module khép package lại bằng một bất đối xứng nền tảng.
Tôi biết một phản ví dụ đủ để bác bỏ, còn một nghìn ví dụ không đủ để chứng minh.
| Unit | 5 |
| Mastery level | 4 tới 11 |
| Lớp (VN) | 5 tới 11 |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ) |
Bất đối xứng này là thứ tách toán học khỏi khoa học thực nghiệm, và learner nào nắm được sẽ đọc mọi khẳng định khác đi, kể cả ngoài môn Toán.
Unit 1 · One example proves nothing (Một ví dụ không chứng minh được gì)
Tôi sẽ làm được nhận ra vài trường hợp đúng chưa đủ để kết luận quy tắc đúng.
Mastery level 4-6 · Lớp 5-7 · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thử một hai trường hợp đúng rồi coi như đã chứng minh |
| Đạt | Biết ví dụ chỉ gợi ý quy tắc, không chứng minh nó |
| Vững | Phân biệt được "đúng với các số tôi đã thử" và "đúng với mọi số" |
Bằng chứng đạt. Learner gặp 2 + 2 = 2 × 2, không kết luận "cộng bằng nhân", và tự thử thêm một cặp số khác để bác.
Hiểu lầm thường gặp. Thử nhiều thì thành chứng minh. Số lượng không biến ví dụ thành chứng minh, vì tập số là vô hạn còn số lần thử thì không. Đây là chỗ toán khác hẳn Package 4 môn Sinh học, nơi kết luận trên tập hợp lại là cách làm đúng.
Knowledge node. Ví dụ minh hoạ · Quy nạp không hoàn toàn · Khẳng định tổng quát
Unit 2 · One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ)
Tôi sẽ làm được bác một khẳng định tổng quát chỉ bằng một trường hợp làm nó sai.
Mastery level 6-8 · Lớp 6-8 · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Cố tìm nhiều phản ví dụ vì tưởng một cái thì chưa chắc |
| Đạt | Đưa một phản ví dụ và biết thế là đủ |
| Vững | Tìm phản ví dụ có chủ đích ở chỗ quy tắc dễ gãy nhất |
Bằng chứng đạt. Trước khẳng định "số nguyên tố nào cũng lẻ", learner đưa ra số 2 và khẳng định luôn rằng không cần thêm ví dụ nào nữa.
Hiểu lầm thường gặp. Một trường hợp thì yếu, nhiều trường hợp mới mạnh. Với việc bác bỏ thì ngược lại hoàn toàn: một trường hợp là đủ và tuyệt đối, vì khẳng định tổng quát nói "mọi", nên chỉ cần một cái không thoả là câu đó sai.
Knowledge node. Phản ví dụ · Bác bỏ mệnh đề · Lượng từ "mọi"
Unit 3 · Choose test cases wisely (Chọn ví dụ để thử cho khéo)
Tôi sẽ làm được chọn những trường hợp có khả năng làm quy tắc gãy, thay vì những trường hợp dễ.
Mastery level 6-8 · Lớp 7-9 · Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chỉ thử số nguyên dương nhỏ |
| Đạt | Thử thêm 0, số âm, số 1, phân số |
| Vững | Nghĩ ra được trường hợp biên đặc thù cho chính quy tắc đang xét |
Bằng chứng đạt. Learner kiểm một quy tắc mới và chủ động thử với 0 và số âm trước khi tin nó.
Hiểu lầm thường gặp. Thử số nào cũng như nhau. Quy tắc gãy ở biên chứ hiếm khi gãy ở giữa, nên thử 3 và 5 gần như không cho thêm thông tin gì so với chỉ thử 3. Đây đúng là kỹ năng ở Module 2.4 môn Tin học.
Knowledge node. Trường hợp biên · Số 0 và số âm · Kiểm chứng có chủ đích
Unit 4 · Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không)
Tôi sẽ làm được phân biệt một mệnh đề với mệnh đề đảo của nó, và kiểm riêng từng cái.
Mastery level 8-10 · Lớp 8-10 · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Coi mệnh đề và mệnh đề đảo là một |
| Đạt | Phát biểu được mệnh đề đảo và kiểm nó riêng |
| Vững | Nhận ra khi cả hai chiều cùng đúng thì mới dùng được chữ khi và chỉ khi |
Bằng chứng đạt. Learner chỉ ra "hình vuông thì có bốn góc vuông" đúng nhưng chiều ngược lại sai, và đưa hình chữ nhật làm phản ví dụ.
Hiểu lầm thường gặp. Nếu A dẫn tới B thì B cũng dẫn tới A. Đây là lỗi lập luận phổ biến nhất ngoài đời, không chỉ trong toán: "học giỏi thì chăm" không kéo theo "chăm thì học giỏi".
Knowledge node. Mệnh đề đảo · Điều kiện cần và đủ · Kéo theo
Unit 5 · Generalise carefully (Tổng quát hoá một cách cẩn thận)
Tôi sẽ làm được đi từ vài trường hợp tới một khẳng định tổng quát, và biết mình còn nợ một bước chứng minh.
Mastery level 9-11 · Lớp 9-11 · Justification (Căn cứ) · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tổng quát hoá từ vài trường hợp rồi dừng lại |
| Đạt | Nêu quy luật quan sát được và ghi rõ đó mới là dự đoán |
| Vững | Chuyển dự đoán thành chứng minh, hoặc chỉ ra vì sao chưa chứng minh được |
Bằng chứng đạt. Learner viết "đúng với n = 1, 2, 3, nên tôi dự đoán đúng với mọi n" rồi đi tìm cách chứng minh, thay vì coi như đã xong.
Hiểu lầm thường gặp. Thấy quy luật là đã tìm ra định lý. Lịch sử toán học có những dự đoán đúng với hàng tỉ trường hợp đầu rồi gãy ở một số khổng lồ. Khoảng cách giữa dự đoán và định lý chính là Module 3.4 · Proof.
Knowledge node. Dự đoán toán học · Quy nạp · Từ quan sát tới chứng minh
Dạy module này theo kiểu IB
Concept-based. Khái niệm dẫn dắt là Logic: chứng minh và bác bỏ không cân xứng nhau, và biết chúng lệch nhau thế nào là nền của mọi lập luận chặt.
Inquiry. Khuôn đoán quy tắc bí mật:
Giáo viên nghĩ một quy tắc bí mật cho dãy số, ví dụ "số tăng dần"
↓
Cho một dãy hợp lệ: 2, 4, 8
↓
Learner đề xuất dãy khác, giáo viên chỉ trả lời HỢP LỆ hoặc KHÔNG
↓
Phần lớn learner chỉ thử các dãy mình TIN là hợp lệ (4, 8, 16 rồi 3, 6, 12)
↓
"Có ai thử một dãy mình nghĩ là SAI chưa?"Đây là thí nghiệm tâm lý học kinh điển, và kết quả gần như luôn lặp lại: learner chỉ tìm bằng chứng ủng hộ giả thuyết của mình. Người tìm ra quy tắc thật là người chịu thử những dãy mình mong là sai, và đó chính là unit 3 áp vào thực tế.