Module 4.2 · Circle geometry (Hình học đường tròn)
Thuộc Package 4 · Space and Counting.
Tôi nhìn thấy đường tròn ẩn trong một bài không nhắc gì tới đường tròn.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 6 tới 12 |
| Lớp (VN) | 7 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Space (Không gian) · Relationships (Quan hệ) |
Unit 1 · Chords and arcs (Dây cung và cung)
Tôi sẽ làm được nối quan hệ giữa dây, cung và khoảng cách tới tâm.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Space (Không gian)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Coi dây cung như một đoạn thẳng bình thường |
| Đạt | Dùng quan hệ dây bằng nhau thì cách đều tâm |
| Vững | Kẻ bán kính như phản xạ đầu tiên khi gặp bài đường tròn |
Bằng chứng đạt. Learner kẻ bán kính tới đầu mút dây và tạo ra tam giác cân, rồi giải tiếp.
Hiểu lầm thường gặp. Bán kính chỉ dùng khi đề nhắc tới nó. Kẻ bán kính tạo ra tam giác cân miễn phí, và đó là nguồn quan hệ góc dồi dào nhất trong hình tròn.
Knowledge node. Dây cung · Cung · Bán kính · Tam giác cân trong đường tròn
Unit 2 · Inscribed angles (Góc nội tiếp)
Tôi sẽ làm được dùng quan hệ góc nội tiếp và góc ở tâm để chuyển góc qua lại quanh đường tròn.
Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Nhớ tỉ lệ một nửa nhưng hay lẫn góc nào là góc nào |
| Đạt | Dùng đúng quan hệ, kể cả với góc chắn nửa đường tròn |
| Vững | Nhận ra các góc bằng nhau vì cùng chắn một cung, và dùng để tìm tam giác đồng dạng |
Bằng chứng đạt. Learner chỉ ra hai góc bằng nhau vì cùng chắn một cung, rồi kết luận hai tam giác đồng dạng.
Hiểu lầm thường gặp. Góc nội tiếp là một công thức tính góc. Giá trị lớn hơn của nó là sinh ra các góc bằng nhau, và các góc bằng nhau lại sinh ra tam giác đồng dạng. Đường tròn là cỗ máy sản xuất quan hệ, không chỉ là một hình.
Knowledge node. Góc nội tiếp · Góc ở tâm · Góc chắn nửa đường tròn · Cùng chắn một cung
Unit 3 · Cyclic quadrilaterals (Tứ giác nội tiếp)
Tôi sẽ làm được nhận ra bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, kể cả khi đề không vẽ đường tròn nào.
Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Form (Hình thái)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chỉ dùng được khi đề vẽ sẵn đường tròn |
| Đạt | Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tổng hai góc đối bằng 180 độ |
| Vững | Chủ động đi tìm tứ giác nội tiếp khi thấy hai góc bằng nhau nhìn cùng một đoạn |
Bằng chứng đạt. Learner phát hiện bốn điểm đồng viên trong một bài không nhắc gì tới đường tròn, và dùng nó để giải.
Hiểu lầm thường gặp. Không có đường tròn thì không có hình học đường tròn. Rất nhiều bài Olympiad hay có lời giải ngắn chỉ vì có một đường tròn ẩn, và tìm ra nó là toàn bộ bài. Dấu hiệu hay gặp nhất: hai góc bằng nhau cùng nhìn một đoạn thẳng.
Knowledge node. Tứ giác nội tiếp · Bốn điểm đồng viên · Đường tròn ẩn
Unit 4 · Power of a point (Phương tích của một điểm)
Tôi sẽ làm được dùng phương tích để nối các độ dài trên các cát tuyến qua một điểm.
Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Nhớ công thức nhưng lẫn trường hợp điểm trong và điểm ngoài |
| Đạt | Áp dụng đúng cho cát tuyến và tiếp tuyến |
| Vững | Dùng phương tích theo chiều ngược để chứng minh bốn điểm đồng viên |
Bằng chứng đạt. Learner dùng đẳng thức phương tích để chứng minh đồng viên, thay vì chứng minh góc.
Hiểu lầm thường gặp. Phương tích chỉ để tính độ dài. Chiều ngược của nó là tiêu chuẩn đồng viên, và đó thường là cách ngắn nhất khi bài toàn độ dài chứ không cho góc nào.
Knowledge node. Phương tích · Cát tuyến · Tiếp tuyến · Tiêu chuẩn đồng viên
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa một bài không có đường tròn nào trong đề, mà lời giải đẹp cần một đường tròn ẩn. Để learner vật lộn bằng góc trước.
Khuôn dạy. Săn đường tròn ẩn:
Một bài chỉ toàn tam giác và đường thẳng
↓
Learner giải bằng cách cộng trừ góc. Rất dài, có thể tắc.
↓
Gợi ý duy nhất: "có hai góc nào bằng nhau mà cùng nhìn một đoạn không?"
↓
Learner tìm ra, vẽ đường tròn qua bốn điểm
↓
Bài rút ngắn còn vài dòngĐối chiếu độ dài hai lời giải là điểm dạy: cùng một bài, một cách mất hai trang và một cách mất bốn dòng. Khác biệt không nằm ở kỹ thuật tính mà ở chỗ nhìn ra cấu trúc ẩn, đúng tinh thần của Package 2.