Module 2.3 · Powerful principles (Nguyên lý mạnh)
Thuộc Package 2 · Choose a Strategy.
Tôi có trong tay vài nguyên lý phát biểu rất đơn giản mà giải được những bài trông không liên quan.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 6 tới 12 |
| Lớp (VN) | 7 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 10 tới Olympiad |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) · Systems (Hệ thống) |
Điểm chung của bốn nguyên lý trong module này: phát biểu tầm thường tới mức trẻ con hiểu được, mà sức giải bài rất lớn. Đó cũng là lý do learner thường bỏ qua chúng: chúng trông quá đơn giản để có ích.
Unit 1 · Pigeonhole (Nguyên lý Dirichlet)
Tôi sẽ làm được dùng nguyên lý chuồng bồ câu để chứng minh một thứ phải tồn tại.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 10 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Biết phát biểu nhưng không nhận ra lúc nào dùng được |
| Đạt | Nhận ra bài dạng "chứng minh tồn tại hai thứ giống nhau" |
| Vững | Tự nghĩ ra chuồng: phần khó không phải nguyên lý mà là chọn cách phân loại |
Bằng chứng đạt. Learner chứng minh trong nhóm 13 người có hai người sinh cùng tháng, rồi giải một bài mà chuồng phải tự nghĩ ra.
Hiểu lầm thường gặp. Nguyên lý này quá hiển nhiên nên không giải được bài khó. Phát biểu hiển nhiên, nhưng chọn chuồng là chỗ khó, và đó là nơi bài Olympiad đặt độ khó. Nguyên lý cho ta biết cái gì đó tồn tại mà không chỉ ra nó là cái nào, và đó là loại kết luận rất mạnh.
Knowledge node. Nguyên lý Dirichlet · Chọn chuồng · Chứng minh tồn tại
Unit 2 · Invariants (Bất biến)
Tôi sẽ làm được tìm một đại lượng không đổi qua mọi thao tác, và dùng nó để chứng minh điều gì bất khả.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Systems (Hệ thống)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thử mãi các thao tác rồi kết luận "chắc là không được" |
| Đạt | Tìm được một bất biến đơn giản như tính chẵn lẻ |
| Vững | Tự dựng bất biến cho bài chưa từng gặp, bằng cách hỏi cái gì không đổi khi thao tác |
Bằng chứng đạt. Learner chứng minh không thể lật hết đồng xu về cùng mặt, bằng cách chỉ ra số đồng ngửa luôn giữ nguyên tính chẵn lẻ.
Hiểu lầm thường gặp. Không làm được thì cứ thử thêm. Thử một triệu lần không chứng minh được điều gì là bất khả; một bất biến thì chứng minh được ngay. Đây là bước chuyển từ tôi chưa tìm ra cách sang không có cách nào, và đó là hai phát biểu rất khác nhau.
Knowledge node. Bất biến · Tính chẵn lẻ · Chứng minh bất khả
Unit 3 · Extremal principle (Nguyên lý cực trị)
Tôi sẽ làm được xét phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất, vì nó thường bị ép vào một tình thế đặc biệt.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Xét một phần tử bất kỳ, không có gì đặc biệt để dựa vào |
| Đạt | Biết chọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất làm điểm tựa |
| Vững | Dùng cực trị để dẫn tới mâu thuẫn, kết hợp với chứng minh phản chứng |
Bằng chứng đạt. Learner bắt đầu lời giải bằng "xét số lớn nhất trong tập" và từ đó suy ra điều vô lý.
Hiểu lầm thường gặp. Phần tử lớn nhất không có gì đặc biệt hơn phần tử khác. Nó có: không có gì lớn hơn nó, và đó là một điều kiện rất mạnh mà các phần tử khác không có. Nhiều lời giải Olympiad chỉ gồm một câu chọn phần tử cực trị rồi ba dòng suy luận.
Knowledge node. Nguyên lý cực trị · Phần tử lớn nhất · Kết hợp với phản chứng
Unit 4 · Count the complement (Đếm phần bù)
Tôi sẽ làm được đếm cái không thoả rồi lấy tổng trừ đi, khi cái thoả khó đếm hơn.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 10 tới Olympiad · Quantity (Lượng)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Luôn đếm trực tiếp cái đề hỏi |
| Đạt | Nhận ra bài có chữ "ít nhất một" thường nên đếm phần bù |
| Vững | So nhanh hai hướng và chọn hướng ít trường hợp hơn trước khi bắt đầu |
Bằng chứng đạt. Learner đếm số cách có ít nhất một chữ số 7 bằng cách lấy tổng trừ số cách không có chữ số 7 nào.
Hiểu lầm thường gặp. Đề hỏi gì thì đếm cái đó. Cụm "ít nhất một" gần như luôn là tín hiệu nên đếm phần bù, vì đếm trực tiếp phải chia trường hợp theo số lượng còn đếm phần bù chỉ có một trường hợp.
Knowledge node. Đếm phần bù · Ít nhất một · Chọn hướng đếm
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa bài lật đồng xu và để learner thử thật lâu, tới khi cả lớp tin là không làm được. Chỉ khi đó ý bất biến mới có chỗ để rơi vào.
Khuôn dạy. Từ thử tới chứng minh bất khả:
Bày 7 đồng xu ngửa. Luật: mỗi lượt lật ĐÚNG 2 đồng.
"Lật hết về mặt sấp được không?"
↓
Cả lớp thử 10 phút. Không ai làm được.
↓
"Chưa ai làm được, hay KHÔNG THỂ làm được? Hai câu đó khác nhau thế nào?"
↓
"Có gì không đổi sau mỗi lượt lật không?"
↓
Learner tìm ra tính chẵn lẻ của số đồng ngửaCâu "chưa ai làm được, hay không thể làm được" là câu quan trọng nhất của cả module. Nó tách trải nghiệm thất bại khỏi kết luận toán học, và đó là ranh giới mà learner phải bước qua để vào Package 5.