Package 5 · Prove It (Chứng minh)
Thuộc Curriculum Advanced Mathematics. Package tách môn này khỏi mọi cách học toán khác.
Tôi chứng minh được điều mình tin là đúng, theo cách người khác đọc và kiểm lại được.
| Module | 4 |
| Unit | 14 |
| Mastery level | 5 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Justification (Căn cứ) · Logic (Lô-gic) |
Đây là ranh giới thật giữa toán phổ thông và toán thi đấu bậc cao. Ở AMC, learner nộp một con số. Từ Olympiad trở đi, learner nộp một lập luận, và lập luận đó bị đọc bởi người cố tìm lỗ hổng.
Module trong package
| Module | Nội dung | Unit |
|---|---|---|
| 5.1 · What counts as a proof (Thế nào là một chứng minh) | Ranh giới giữa tin và chứng minh được | 3 |
| 5.2 · Proof techniques (Các kỹ thuật chứng minh) | Trực tiếp, phản chứng, phản đảo, quy nạp | 4 |
| 5.3 · Counterexamples and edges (Phản ví dụ và trường hợp biên) | Bác bỏ, và chỗ lập luận hay gãy | 3 |
| 5.4 · Write it up (Viết ra cho người khác đọc) | Từ hiểu trong đầu tới bài viết đọc được | 4 |
Toàn bộ unit
| Unit | Mastery (B21) | Lớp (VN) | Mức thi đấu | Key concept |
|---|---|---|---|---|
| 5.1.1 Believing is not proving (Tin không phải là chứng minh) | 5-10 | 6-10 | AMC 8 - AMC 12 | Justification |
| 5.1.2 What a proof must cover (Chứng minh phải phủ những gì) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Logic |
| 5.1.3 Find the gap in a given proof (Tìm lỗ hổng trong một chứng minh) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.2.1 Direct proof (Chứng minh trực tiếp) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Logic |
| 5.2.2 Proof by contradiction (Chứng minh phản chứng) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.2.3 Contrapositive (Mệnh đề phản đảo) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Equivalence |
| 5.2.4 Induction (Quy nạp toán học) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 5.3.1 One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Logic |
| 5.3.2 Check the edge cases (Kiểm trường hợp biên) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Logic |
| 5.3.3 Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.4.1 Write for a reader who will attack it (Viết cho người sẽ soi lỗi) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.2 State what you assume (Nói rõ mình giả sử gì) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.3 Do not write "obviously" (Đừng viết chữ "hiển nhiên") | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.4 Generalize what you proved (Tổng quát hoá điều vừa chứng minh) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Generalization |
Chỗ hay bị bỏ qua
Unit 5.4.3 nghe như chuyện văn phong nhưng không phải. Chữ hiển nhiên trong một bài chứng minh gần như luôn nằm ở đúng chỗ tác giả chưa kiểm. Người chấm biết điều đó, nên đó là chỗ họ soi đầu tiên. Quy tắc thực dụng: mỗi lần định viết hiển nhiên, hãy thử viết ra vì sao; nếu viết được trong một dòng thì viết luôn, nếu không viết được thì vừa tìm ra một lỗ hổng.
Unit 5.1.3 là bài tập có sức dạy cao nhất của cả package, và nó đảo vai trò: learner nhận một chứng minh có lỗi cài sẵn và phải tìm ra. Đọc để tìm lỗ hổng dạy được chuẩn thế nào là đủ chặt nhanh hơn nhiều so với tự viết.
Unit 5.2.4 thường bị dạy thành một thủ tục ba bước điền vào chỗ trống. Quy nạp không phải thủ tục: bước khó là tìm đúng phát biểu để quy nạp, và phát biểu mạnh hơn đôi khi lại dễ chứng minh hơn phát biểu yếu. Đó là nghịch lý mà learner cần gặp tường minh.