Module 2.2 · Pattern and structure (Quy luật và cấu trúc)
Thuộc Package 2 · Choose a Strategy.
Tôi nhìn ra cấu trúc lặp lại trong bài, và dùng nó để không phải xét hết mọi trường hợp.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 5 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Pattern (Quy luật) · Systems (Hệ thống) |
Unit 1 · Find a pattern, then prove it (Tìm quy luật, rồi chứng minh)
Tôi sẽ làm được tìm ra quy luật, và biết rằng mình mới đi được nửa đường.
Mastery level 5-10 · Lớp 6-11 · AMC 8 tới AIME · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tìm ra quy luật rồi coi như xong bài |
| Đạt | Ghi rõ đây là dự đoán, rồi đi tìm lý do nó đúng |
| Vững | Chứng minh được quy luật, hoặc chỉ ra vì sao chưa chứng minh được |
Bằng chứng đạt. Learner viết "đúng với n = 1 tới 6, tôi dự đoán đúng với mọi n" rồi tìm cách chứng minh, thay vì nộp luôn.
Hiểu lầm thường gặp. Thấy quy luật là giải xong bài. Ở AMC thì thường đủ vì chỉ nộp một con số; từ Olympiad trở đi thì không có điểm nào cho một quy luật chưa chứng minh. Lịch sử toán có những dự đoán đúng với hàng tỉ trường hợp đầu rồi gãy.
Knowledge node. Dự đoán · Quy nạp không hoàn toàn · Từ quan sát tới chứng minh
Unit 2 · Casework without missing a case (Chia trường hợp không sót)
Tôi sẽ làm được chia trường hợp sao cho phủ hết và không chồng lấn.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 10 tới Olympiad · Systems (Hệ thống)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chia theo cảm giác, sót một trường hợp hoặc đếm trùng |
| Đạt | Chọn được tiêu chí chia rõ ràng, kiểm phủ hết và không chồng |
| Vững | Chọn tiêu chí chia làm số trường hợp ít nhất, không phải tiêu chí đầu tiên nghĩ ra |
Bằng chứng đạt. Learner nêu tiêu chí chia, chỉ ra tổng các trường hợp bằng toàn bộ, và không cấu hình nào thuộc hai trường hợp.
Hiểu lầm thường gặp. Chia trường hợp là việc cơ bắp, cứ liệt kê đủ là được. Tiêu chí chia quyết định bài có ba trường hợp hay hai mươi. Chia theo số dư hoặc theo tính chẵn lẻ thường gọn hơn hẳn chia theo giá trị.
Knowledge node. Chia trường hợp · Phủ và không chồng lấn · Tiêu chí chia
Unit 3 · Recursion (Đệ quy)
Tôi sẽ làm được biểu diễn bài toán cỡ
nqua bài toán cỡ nhỏ hơn.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thấy đệ quy như một vòng luẩn quẩn |
| Đạt | Lập được hệ thức truy hồi và trường hợp cơ sở |
| Vững | Nhận ra dấu hiệu bài nên dùng đệ quy: thêm một phần tử thì cấu hình mới sinh ra thế nào |
Bằng chứng đạt. Learner đếm số cách lát một hành lang 1 × n bằng cách nghĩ về ô cuối cùng, và ra hệ thức Fibonacci.
Hiểu lầm thường gặp. Đệ quy là công cụ của môn Tin học. Nó là công cụ đếm mạnh nhất của tổ hợp: giả sử bài nhỏ hơn đã giải xong, chỉ cần xử lý một bước. Learner chấp nhận được giả định đó thì đệ quy hết khó.
Knowledge node. Hệ thức truy hồi · Trường hợp cơ sở · Đếm bằng đệ quy
Unit 4 · Symmetry (Đối xứng)
Tôi sẽ làm được nhận ra đối xứng trong bài và dùng nó để cắt một nửa công việc.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Form (Hình thái)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Không để ý bài có đối xứng |
| Đạt | Nhận ra đối xứng và dùng để giảm số trường hợp |
| Vững | Dùng đối xứng để đoán chỗ dấu bằng xảy ra, rồi mới chứng minh |
Bằng chứng đạt. Với một bất đẳng thức đối xứng ba biến, learner đoán dấu bằng ở a = b = c và kiểm lại được.
Hiểu lầm thường gặp. Đối xứng chỉ là chuyện hình học. Biểu thức đối xứng, bài đếm đối xứng, và trò chơi đối xứng đều dùng cùng một ý: nếu đổi chỗ hai thứ mà bài không đổi, thì lời giải cũng không được phân biệt chúng.
Knowledge node. Biểu thức đối xứng · Đối xứng trong đếm · Điểm dấu bằng
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa bài lát hành lang, không nhắc tới Fibonacci. Để learner đếm tay tới n = 5 rồi tự nhận ra dãy quen.
Khuôn dạy. Nghĩ về phần tử cuối cùng:
Bài đếm bất kỳ có kích thước n
↓
Đếm tay n = 1, 2, 3, 4, 5. Ghi lên bảng.
↓
"Dãy này quen không?" Nhiều learner nhận ra ngay.
↓
Câu quyết định: "vì sao lại là dãy đó? Nhìn vào Ô CUỐI CÙNG xem."
↓
Learner tự dựng hệ thức truy hồi từ chỗ đóCâu nhìn vào ô cuối cùng là chìa khoá của gần như mọi bài đếm bằng đệ quy, và cho learner tự tìm ra nó có sức dạy lớn hơn nhiều so với phát hệ thức sẵn.