Module 2.5 · Calculus fluency (Tính với giới hạn, đạo hàm và tích phân)
Thuộc Package 2 · Compute Fluently. Module chỉ mở ở cấp 3, và là nơi ba khái niệm lớn nhất của Toán phổ thông cùng nằm.
…tính đạo hàm và tích phân thành thạo, đồng thời nói được mỗi phép đó đang đo cái gì.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 10 tới 12 |
| Lớp (VN) | 11 tới 12 |
| Key concept chính | Change (Biến đổi) |
Ba unit sau đều đứng trên unit đầu. Learner không nắm giới hạn thì đạo hàm và tích phân trở thành hai bộ công thức rời, tính được nhưng không giải thích được, và quên sạch sau kỳ thi.
Unit 1 · Limits: what a value approaches (Giới hạn, giá trị mà biểu thức tiến tới)
Tôi sẽ làm được nói một biểu thức tiến tới đâu, kể cả khi nó không bao giờ chạm tới đó.
Mastery level 10-12 · Lớp 11 · Change (Biến đổi) · Quantity (Lượng)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tính được giới hạn bằng cách thay số, hỏng khi gặp dạng vô định 0/0 |
| Đạt | Khử được dạng vô định bằng phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp; đọc được giới hạn một bên |
| Vững | Giải thích giới hạn bằng ý tiến tới gần bao nhiêu tuỳ ý, và dùng nó để lập luận về liên tục |
Bằng chứng đạt. Learner giải thích được vì sao lim(x→2) (x²-4)/(x-2) = 4 dù tại x = 2 biểu thức không xác định, mà không nói "vì rút gọn được".
Hiểu lầm thường gặp. Giới hạn là giá trị của hàm tại điểm đó. Learner coi lim(x→a) f(x) và f(a) là một, nên không hiểu vì sao phải có khái niệm mới. Chỉ gỡ được bằng ví dụ mà hàm không xác định tại điểm nhưng giới hạn vẫn tồn tại.
Knowledge node. Giới hạn dãy số · Giới hạn hàm số · Dạng vô định · Giới hạn một bên · Hàm số liên tục
Unit 2 · Rates of change and the derivative (Tốc độ biến thiên và đạo hàm)
Tôi sẽ làm được đọc đạo hàm là đại lượng này đang đổi nhanh chậm thế nào, không chỉ là một công thức.
Mastery level 10-12 · Lớp 11 · Change (Biến đổi) · Relationships (Quan hệ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tính được đạo hàm theo công thức, nhưng không nói được nó nghĩa là gì |
| Đạt | Nối đạo hàm với hệ số góc tiếp tuyến và với vận tốc tức thời |
| Vững | Đọc dấu của đạo hàm ra chiều biến thiên của hàm, và đọc ngược từ đồ thị ra dấu đạo hàm |
Bằng chứng đạt. Cho đồ thị một hàm không kèm công thức, learner phác được đồ thị đạo hàm của nó, chỉ dựa vào chỗ hàm tăng, giảm, và cực trị.
Hiểu lầm thường gặp. Đạo hàm là một phép biến đổi công thức. Learner làm đúng mọi bài tính f'(x) nhưng không trả lời được "đạo hàm dùng để làm gì", vì chưa bao giờ nối nó với ý tốc độ biến thiên.
Knowledge node. Định nghĩa đạo hàm · Ý nghĩa hình học · Vận tốc tức thời · Chiều biến thiên
Unit 3 · Differentiate standard functions (Đạo hàm các hàm cơ bản)
Tôi sẽ làm được tính đạo hàm của các hàm thường gặp và các quy tắc kết hợp, đủ nhanh để không phải tra bảng.
Mastery level 10-12 · Lớp 11-12 · Form (Hình thái) · Systems (Hệ thống)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Đạo hàm hàm đa thức; lúng túng khi có tích, thương hoặc hàm hợp |
| Đạt | Dùng đúng quy tắc tích, thương, hàm hợp; đạo hàm hàm mũ, logarit, lượng giác |
| Vững | Nhận ra cấu trúc của biểu thức để chọn thứ tự áp quy tắc gọn nhất; tự kiểm bằng một giá trị cụ thể |
Bằng chứng đạt. Learner đạo hàm một hàm hợp ba lớp đúng ngay lần đầu, và nói được đã áp quy tắc theo thứ tự nào.
Hiểu lầm thường gặp. Đạo hàm của tích bằng tích các đạo hàm. Cùng họ với (a+b)² = a² + b² ở Module 2.2: learner mở rộng tính chất tuyến tính sang chỗ nó không đúng.
Knowledge node. Bảng đạo hàm · Quy tắc tích và thương · Đạo hàm hàm hợp · Đạo hàm cấp hai
Unit 4 · Area under a curve (Tích phân và diện tích)
Tôi sẽ làm được tính tích phân, và nói nó đang cộng dồn cái gì.
Mastery level 11-12 · Lớp 12 · Measurement (Đo lường) · Change (Biến đổi)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Tính nguyên hàm theo bảng; áp công thức Newton-Leibniz máy móc |
| Đạt | Đổi biến và tích phân từng phần; tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường |
| Vững | Đọc tích phân là tổng của vô số phần nhỏ, nên áp được vào thể tích, quãng đường, và các đại lượng cộng dồn khác |
Bằng chứng đạt. Learner giải thích được vì sao tích phân của vận tốc theo thời gian cho ra quãng đường, bằng ý cộng dồn chứ không bằng "vì đó là nguyên hàm".
Hiểu lầm thường gặp. Tích phân là phép ngược của đạo hàm, hết. Định nghĩa đó đúng nhưng che mất ý cộng dồn, nên learner không nhận ra tích phân khi gặp nó ngoài dạng bài quen.
Knowledge node. Nguyên hàm · Tích phân xác định · Đổi biến · Tích phân từng phần · Diện tích hình phẳng
Dạy module này theo kiểu IB
Concept-based. Khái niệm dẫn dắt là Change: cả ba unit sau đều là các cách trả lời câu hỏi "đại lượng này đang đổi thế nào, và tổng cộng lại thì bằng bao nhiêu?"
Inquiry. Khuôn cho unit đạo hàm, dùng được cả khi learner chưa học công thức nào:
Cho bảng quãng đường theo thời gian, khoảng cách các mốc thưa
↓
Learner tính vận tốc trung bình từng đoạn
↓
Thu hẹp dần khoảng thời gian: 1 giây, 0,1 giây, 0,01 giây
↓
"Các con số này đang tiến tới đâu? Nó là vận tốc lúc nào?"Chuỗi này dựng cả giới hạn lẫn đạo hàm từ một tình huống có thật, và learner gặp khái niệm giới hạn như câu trả lời cho một câu hỏi mình đang mắc, không như một chương mới phải học.