Module 5.3 · Counterexamples and edges (Phản ví dụ và trường hợp biên)
Thuộc Package 5 · Prove It.
Tôi đi tìm chỗ mệnh đề gãy trước khi cố chứng minh nó, vì tìm ra chỗ gãy nhanh hơn nhiều so với chứng minh.
| Unit | 3 |
| Mastery level | 5 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) |
Unit 1 · One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ)
Tôi sẽ làm được bác một khẳng định tổng quát chỉ bằng một trường hợp làm nó sai.
Mastery level 5-10 · Lớp 6-11 · AMC 8 tới AIME · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Cố tìm nhiều phản ví dụ vì tưởng một cái chưa chắc |
| Đạt | Đưa một phản ví dụ và biết thế là đủ |
| Vững | Tìm phản ví dụ có chủ đích ở chỗ mệnh đề dễ gãy nhất |
Bằng chứng đạt. Learner bác một khẳng định bằng đúng một trường hợp, và khẳng định luôn rằng không cần thêm.
Hiểu lầm thường gặp. Một trường hợp thì yếu, nhiều mới mạnh. Với việc bác bỏ thì ngược lại hoàn toàn: một trường hợp là đủ và tuyệt đối, vì khẳng định tổng quát nói mọi, nên chỉ cần một cái không thoả là câu đó sai.
Knowledge node. Phản ví dụ · Bác bỏ mệnh đề · Lượng từ mọi
Unit 2 · Check the edge cases (Kiểm trường hợp biên)
Tôi sẽ làm được thử ngay các trường hợp biên, vì đó là chỗ lập luận hay gãy.
Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chỉ thử số nguyên dương nhỏ và vừa |
| Đạt | Thử thêm 0, số âm, số 1, và trường hợp suy biến |
| Vững | Nghĩ ra được trường hợp biên đặc thù cho chính mệnh đề đang xét |
Bằng chứng đạt. Learner tìm ra chứng minh của mình hỏng khi mẫu số bằng 0, trước khi nộp.
Hiểu lầm thường gặp. Trường hợp biên hiếm nên không đáng bận tâm. Lập luận gãy ở biên chứ hiếm khi gãy ở giữa: chia cho biểu thức có thể bằng 0, tam giác suy biến thành đoạn thẳng, tập rỗng. Đây cũng là kỹ năng ở Module 2.4 môn Tin học.
Knowledge node. Trường hợp biên · Trường hợp suy biến · Điều kiện xác định
Unit 3 · Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không)
Tôi sẽ làm được kiểm riêng mệnh đề đảo, thay vì tưởng nó đi kèm mệnh đề gốc.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Coi mệnh đề và mệnh đề đảo là một |
| Đạt | Phát biểu được mệnh đề đảo và kiểm nó riêng |
| Vững | Nhận ra khi cả hai chiều cùng đúng thì mới dùng được chữ khi và chỉ khi |
Bằng chứng đạt. Learner chỉ ra một mệnh đề đúng mà đảo của nó sai, và đưa phản ví dụ cho chiều đảo.
Hiểu lầm thường gặp. Nếu A dẫn tới B thì B cũng dẫn tới A. Đây là lỗi lập luận phổ biến nhất ngoài đời, không chỉ trong toán, và nó nguy hiểm vì thường không ai để ý mình vừa suy ngược. Trong bài chứng minh khi và chỉ khi, quên một chiều là mất nửa số điểm.
Knowledge node. Mệnh đề đảo · Điều kiện cần và đủ · Chứng minh hai chiều
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa một mệnh đề trông rất đúng và bảo learner chứng minh. Nó sai, và chỗ sai nằm ở một trường hợp biên.
Khuôn dạy. Săn phản ví dụ trước khi chứng minh:
Năm mệnh đề, ba đúng và hai sai, KHÔNG nói cái nào là cái nào
↓
Luật: dành 3 phút ĐẦU cho mỗi mệnh đề để đi tìm phản ví dụ
↓
Chỉ khi không tìm được mới bắt đầu chứng minh
↓
"Em tìm phản ví dụ ở đâu trước? Vì sao ở đó?"
↓
Cả lớp lập danh sách chỗ đáng thử: 0, số âm, 1, trường hợp suy biếnThói quen săn phản ví dụ trước tiết kiệm rất nhiều thời gian: không ai muốn dành hai mươi phút chứng minh một mệnh đề sai. Nó cũng làm learner hiểu mệnh đề sâu hơn trước khi bắt tay.