Module 5.2 · Proof techniques (Các kỹ thuật chứng minh)
Thuộc Package 5 · Prove It.
Tôi có bốn cách chứng minh trong tay, và tôi chọn cách hợp với hình dạng của mệnh đề.
| Unit | 4 |
| Mastery level | 6 tới 12 |
| Lớp (VN) | 7 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Logic (Lô-gic) · Pattern (Quy luật) |
Unit 1 · Direct proof (Chứng minh trực tiếp)
Tôi sẽ làm được đi từ giả thiết tới kết luận bằng những bước ai cũng kiểm được.
Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Viết ra kết quả mà không nối được với giả thiết |
| Đạt | Mỗi bước suy ra được từ bước trước và từ điều đã biết |
| Vững | Nói rõ mỗi bước dựa vào định lý nào, không để bước nào treo |
Bằng chứng đạt. Bạn cùng lớp đọc chứng minh của learner và kiểm được từng bước mà không phải hỏi.
Hiểu lầm thường gặp. Chứng minh là viết lại quá trình mình nghĩ ra. Quá trình nghĩ thường lộn xộn và đi ngược; chứng minh là bản trình bày sạch theo chiều xuôi. Hai thứ khác nhau, và viết lại theo chiều xuôi là một bước riêng.
Knowledge node. Chứng minh trực tiếp · Chuỗi suy luận · Căn cứ của mỗi bước
Unit 2 · Proof by contradiction (Chứng minh phản chứng)
Tôi sẽ làm được giả sử điều ngược lại và đi tới một điều vô lý.
Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Phủ định mệnh đề sai, nên chứng minh sai từ dòng đầu |
| Đạt | Phủ định đúng, suy luận tới mâu thuẫn, kết luận |
| Vững | Nhận ra dạng mệnh đề nào hợp với phản chứng: có chữ không tồn tại, vô hạn, duy nhất |
Bằng chứng đạt. Learner phủ định đúng một mệnh đề có lượng từ, ví dụ đổi mọi thành tồn tại một.
Hiểu lầm thường gặp. Phản chứng là giả sử kết luận sai rồi làm tiếp. Bước khó nhất là phủ định cho đúng, nhất là khi mệnh đề có lượng từ lồng nhau. Phủ định sai thì mọi thứ sau đó vô nghĩa dù suy luận chặt.
Knowledge node. Phản chứng · Phủ định mệnh đề · Lượng từ
Unit 3 · Contrapositive (Mệnh đề phản đảo)
Tôi sẽ làm được chứng minh phản đảo khi nó dễ hơn mệnh đề gốc.
Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Equivalence (Tương đương)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Lẫn phản đảo với mệnh đề đảo |
| Đạt | Viết đúng phản đảo và biết nó tương đương với mệnh đề gốc |
| Vững | Nhận ra khi phản đảo dễ hơn hẳn, thường là khi giả thiết gốc khó dùng |
Bằng chứng đạt. Learner chứng minh nếu n² chẵn thì n chẵn bằng phản đảo, và giải thích vì sao chiều đó dễ hơn.
Hiểu lầm thường gặp. Phản đảo và mệnh đề đảo là một. Phản đảo luôn tương đương với mệnh đề gốc; mệnh đề đảo thì không. Nhầm hai cái là lỗi lô-gic nghiêm trọng, và nó cũng xuất hiện ngoài đời khi người ta suy ngược một nhận định.
Knowledge node. Mệnh đề phản đảo · Mệnh đề đảo · Tương đương lô-gic
Unit 4 · Induction (Quy nạp toán học)
Tôi sẽ làm được chứng minh bằng quy nạp, và biết bước khó nhất là chọn phát biểu để quy nạp.
Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Pattern (Quy luật)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Điền vào ba bước theo mẫu, không hiểu vì sao đủ |
| Đạt | Viết được cơ sở và bước chuyển, dùng đúng giả thiết quy nạp |
| Vững | Nhận ra đôi khi phát biểu mạnh hơn lại dễ chứng minh hơn, và chủ động làm mạnh phát biểu |
Bằng chứng đạt. Learner gặp một bài quy nạp bị tắc, làm mạnh phát biểu lên, và bước chuyển trở nên làm được.
Hiểu lầm thường gặp. Quy nạp là thủ tục ba bước điền vào chỗ trống. Bước thật sự khó là tìm đúng phát biểu, và nghịch lý là phát biểu mạnh hơn cho ta giả thiết quy nạp mạnh hơn, nên đôi khi dễ hơn hẳn. Đây là ý mà learner cần gặp tường minh, vì nó ngược trực giác.
Knowledge node. Quy nạp toán học · Trường hợp cơ sở · Giả thiết quy nạp · Làm mạnh phát biểu
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Đưa một bài quy nạp mà phát biểu gốc bị tắc ở bước chuyển, không báo trước. Để learner đâm vào tường.
Khuôn dạy. Làm mạnh phát biểu:
Một bài quy nạp mà giả thiết gốc không đủ để đi bước chuyển
↓
Learner tắc ở bước hai
↓
"Em đang thiếu thông tin gì ở bước chuyển?"
↓
"Nếu giả thiết quy nạp cho em thêm điều đó thì sao?"
↓
Làm mạnh phát biểu, chứng minh lại, và nó chạyKhoảnh khắc learner thấy chứng minh nhiều hơn lại dễ hơn là khoảnh khắc quy nạp thôi là thủ tục và thành một công cụ có chiến lược.