Module 5.1 · What counts as a proof (Thế nào là một chứng minh)
Thuộc Package 5 · Prove It.
Tôi phân biệt được điều tôi tin là đúng với điều tôi chứng minh được, và biết khoảng cách giữa hai thứ đó.
| Unit | 3 |
| Mastery level | 5 tới 12 |
| Lớp (VN) | 6 tới 12 |
| Mức thi đấu | AMC 8 tới Olympiad |
| Key concept chính | Justification (Căn cứ) · Logic (Lô-gic) |
Ở AMC, learner nộp một con số. Từ Olympiad trở đi, learner nộp một lập luận, và lập luận đó bị đọc bởi người cố tìm lỗ hổng. Module này dựng chuẩn cho việc đó.
Unit 1 · Believing is not proving (Tin không phải là chứng minh)
Tôi sẽ làm được nhận ra khi mình mới chỉ tin, chưa chứng minh.
Mastery level 5-10 · Lớp 6-10 · AMC 8 tới AMC 12 · Justification (Căn cứ)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Thử vài trường hợp đúng rồi coi như đã chứng minh |
| Đạt | Gọi tên được đâu là dự đoán, đâu là chứng minh |
| Vững | Nói được cần thêm gì để biến dự đoán thành chứng minh |
Bằng chứng đạt. Learner viết "đúng với n = 1 tới 6, đây mới là dự đoán" và nêu ra bước còn thiếu.
Hiểu lầm thường gặp. Thử đủ nhiều thì thành chứng minh. Số lượng không biến ví dụ thành chứng minh, vì tập số vô hạn còn số lần thử thì không. Đây là bất đối xứng nền tảng đã gặp ở Module 3.6 môn Toán: một phản ví dụ đủ để bác, một nghìn ví dụ không đủ để chứng minh.
Knowledge node. Dự đoán và định lý · Quy nạp không hoàn toàn · Chuẩn của chứng minh
Unit 2 · What a proof must cover (Chứng minh phải phủ những gì)
Tôi sẽ làm được kiểm chứng minh của mình đã phủ hết mọi trường hợp chưa.
Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Chứng minh cho trường hợp chính, bỏ qua trường hợp riêng |
| Đạt | Liệt kê các trường hợp và xử lý từng cái |
| Vững | Nhận ra đề đòi tìm tất cả thì phải chứng minh cả hai chiều: chỉ ra và loại hết phần còn lại |
Bằng chứng đạt. Learner tìm ra một nghiệm rồi viết tiếp phần chứng minh không còn nghiệm nào khác.
Hiểu lầm thường gặp. Chỉ ra một đáp án là trả lời được bài. Với đề tìm tất cả, chỉ ra một cái là mới xong một nửa, và ở Olympiad thì nửa còn lại thường chiếm phần lớn số điểm. Đây là lỗi mất nửa điểm phổ biến nhất.
Knowledge node. Phủ hết trường hợp · Tìm tất cả nghiệm · Chứng minh hai chiều
Unit 3 · Find the gap in a given proof (Tìm lỗ hổng trong một chứng minh)
Tôi sẽ làm được đọc một chứng minh và chỉ ra đúng bước nào chưa được biện minh.
Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)
| Bậc | Learner làm được gì |
|---|---|
| Đang hình thành | Đọc thấy trôi chảy nên tin là đúng |
| Đạt | Tìm ra bước sai khi được báo trước là có lỗi |
| Vững | Đọc mọi chứng minh với thái độ truy vấn, kể cả chứng minh của chính mình |
Bằng chứng đạt. Learner nhận một chứng minh có lỗi cài sẵn và chỉ đúng dòng hỏng, kèm lý do.
Hiểu lầm thường gặp. Viết trôi chảy nghĩa là lập luận chặt. Các chứng minh sai nổi tiếng đều rất trôi chảy, và chỗ hỏng thường nằm ở một bước trông hiển nhiên. Đọc để tìm lỗ hổng dạy được chuẩn thế nào là đủ chặt nhanh hơn nhiều so với tự viết.
Knowledge node. Đọc phản biện · Lỗ hổng lập luận · Bước chưa biện minh
Dạy module này theo kiểu AoPS
Problem-first. Phát một chứng minh sai nhưng thuyết phục, không nói là nó sai. Hỏi learner có đồng ý không.
Khuôn dạy. Chứng minh 1 = 2:
Trình bày một chứng minh sai kinh điển, ví dụ chia cho một biểu thức bằng 0
↓
"Có ai thấy sai chỗ nào không?" Thường không ai thấy ngay.
↓
"Kết luận vô lý, vậy phải có một dòng sai. Dòng nào?"
↓
Soi từng dòng: dòng này suy ra từ dòng trước đúng không?
↓
Tìm ra bước chia cho 0Điểm dạy nằm ở quy trình chứ không ở ví dụ: kết luận vô lý nên chắc chắn có một dòng sai, và việc còn lại là soi từng dòng. Learner mang quy trình đó về áp vào bài của chính mình.