---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/toan/reason/proof.md
description: >-
  Module Toán (Reason) 3.4: chứng minh, learner viết chuỗi lập luận mà mỗi bước
  có căn cứ, từ giả thiết tới kết luận.
---

# Module 3.4 · Proof (Chứng minh)

Thuộc [Package 3 · Reason & Prove](/curriculum/toan/reason/). Module đỉnh của package, và là chỗ toán học tách hẳn khỏi các môn khác: ở đây một khẳng định được chứng minh thì đúng vĩnh viễn.

| | |
| --- | --- |
| **Unit** | 5 |
| **Mastery level** | 5 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 7 tới 12 |
| **Key concept chính** | Justification (Căn cứ) |

***

## Unit 1 · If then reasoning (Suy luận nếu thì)

> **Tôi sẽ làm được** đi từ điều đã cho tới điều phải tìm bằng những bước nối nhau chặt chẽ.

**Mastery level 5-7 · Lớp 7-10 · Logic (Lô-gic)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Viết ra các dữ kiện nhưng không nối chúng lại thành mạch |
| **Đạt** | Xây chuỗi *vì… nên…* từ giả thiết tới kết luận |
| **Vững** | Phân biệt được mệnh đề thuận và mệnh đề đảo, biết chứng minh chiều này không cho chiều kia |

**Bằng chứng đạt.** Learner chỉ ra được lỗi trong lập luận *"hình này có hai cạnh bằng nhau nên nó là hình vuông"*, và nói rõ đang nhầm chiều nào.

**Hiểu lầm thường gặp.** Nếu A thì B nghĩa là nếu B thì A. Lẫn thuận đảo là lỗi logic phổ biến nhất, và nó không chỉ xuất hiện trong toán.

**Knowledge node.** Mệnh đề nếu thì · Giả thiết và kết luận · Mệnh đề đảo · Suy luận bắc cầu

***

## Unit 2 · Direct proof (Chứng minh trực tiếp)

> **Tôi sẽ làm được** chứng minh một khẳng định cho **mọi** trường hợp, không phải bằng cách thử vài số.

**Mastery level 7-8 · Lớp 8-11 · Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Kiểm bằng vài ví dụ rồi coi là xong |
| **Đạt** | Dùng biến để đại diện cho mọi trường hợp: gọi số chẵn là `2k` rồi lập luận |
| **Vững** | Chọn được cách đặt biến làm bài gọn nhất, và biết khi nào cần chia trường hợp |

**Bằng chứng đạt.** Learner chứng minh *"tổng hai số chẵn là số chẵn"* bằng cách đặt `2m + 2n = 2(m+n)`, không bằng cách liệt kê ví dụ.

**Hiểu lầm thường gặp.** Chứng minh là trình bày dài dòng cho thứ đã hiển nhiên. Learner không thấy khác biệt giữa *thấy đúng* và *chứng minh được*, nên coi cả unit là thủ tục hình thức.

**Knowledge node.** Chứng minh trực tiếp · Biểu diễn số chẵn lẻ · Chia trường hợp · Tính chất chia hết

***

## Unit 3 · Geometric proof with reasons (Chứng minh hình học có căn cứ)

> **Tôi sẽ làm được** viết bài chứng minh hình mà mỗi bước đều ghi rõ dựa vào định lý nào.

**Mastery level 7-8 · Lớp 7-9 · Space (Không gian) · Justification (Căn cứ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Viết các bước đúng thứ tự nhưng không nêu căn cứ |
| **Đạt** | Mỗi bước kèm lý do: dấu hiệu nào, định lý nào, giả thiết nào |
| **Vững** | Tự vẽ thêm đường phụ khi cần, và giải thích vì sao đường phụ đó giúp được |

**Bằng chứng đạt.** Bài của learner có cột lý do đầy đủ, và người đọc kiểm được từng bước mà không phải tự đoán.

**Hiểu lầm thường gặp.** Hình vẽ là bằng chứng. Learner kết luận hai đoạn bằng nhau vì nhìn trên hình thấy bằng, hoặc vì đo bằng thước. Hình vẽ chỉ gợi ý, không chứng minh.

**Knowledge node.** Dấu hiệu nhận biết · Tam giác bằng nhau · Tam giác đồng dạng · Đường phụ

***

## Unit 4 · Proof by induction (Chứng minh quy nạp)

> **Tôi sẽ làm được** chứng minh một khẳng định đúng với mọi số tự nhiên bằng hai bước.

**Mastery level 10-12 · Lớp 11 · Logic (Lô-gic) · Generalization (Khái quát hoá)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Làm đúng hai bước theo mẫu nhưng không hiểu vì sao hai bước là đủ |
| **Đạt** | Viết đúng bước cơ sở và bước chuyển, dùng được giả thiết quy nạp |
| **Vững** | Giải thích quy nạp bằng hình ảnh dây domino, và nhận ra bài nào hợp quy nạp, bài nào không |

**Bằng chứng đạt.** Learner giải thích được vì sao **thiếu bước cơ sở** thì toàn bộ chứng minh sụp, dù bước chuyển vẫn đúng.

**Hiểu lầm thường gặp.** Quy nạp toán học giống quy nạp thường: thử nhiều rồi kết luận. Tên gọi giống nhau nhưng bản chất ngược nhau, và unit này nối thẳng về [Module 3.3](/curriculum/toan/reason/when-the-rule-breaks), nơi learner đã học rằng thử nhiều không đủ.

**Knowledge node.** Nguyên lý quy nạp · Bước cơ sở · Giả thiết quy nạp · Dãy số và tổng

***

## Unit 5 · Prove an inequality (Chứng minh bất đẳng thức)

> **Tôi sẽ làm được** chứng minh một bất đẳng thức, và nói dấu bằng xảy ra khi nào.

**Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Áp bất đẳng thức Cô-si theo mẫu khi đề có dạng quen |
| **Đạt** | Biến đổi tương đương về dạng hiển nhiên đúng, ví dụ đưa về bình phương không âm |
| **Vững** | Chọn được công cụ phù hợp, và luôn xét **điều kiện dấu bằng**, vì đó là chỗ bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất cần tới |

**Bằng chứng đạt.** Learner chứng minh xong thì chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào, và dùng nó để kết luận giá trị nhỏ nhất.

**Hiểu lầm thường gặp.** Chứng minh xong bất đẳng thức là đủ để kết luận giá trị nhỏ nhất. Thiếu bước chỉ ra dấu bằng **đạt được**, kết luận về giá trị nhỏ nhất chưa hợp lệ, vì có thể cận đó không bao giờ chạm tới.

**Knowledge node.** Bất đẳng thức · Bất đẳng thức Cô-si · Biến đổi tương đương · Điều kiện dấu bằng

***

## Dạy module này theo kiểu IB

**Concept-based.** Khái niệm dẫn dắt là *Justification*: trong toán, tin không đủ, phải chứng minh được.

**Inquiry.** Khuôn dẫn learner tới nhu cầu chứng minh, thay vì áp nó xuống:

```text
Đưa một khẳng định đúng, cho learner kiểm bằng ví dụ
     ↓
Learner tin, nhưng chưa chứng minh
     ↓
Đưa MỘT khẳng định khác cũng đúng với 10 ví dụ đầu, nhưng SAI ở ví dụ thứ 11
     ↓
"Làm sao biết cái đầu không giống cái thứ hai?"
```

Cú sốc ở bước ba là thứ tạo ra nhu cầu chứng minh. Trước đó learner không thấy chứng minh để làm gì, vì kiểm ví dụ luôn có vẻ đủ. Sau đó, câu hỏi *"làm sao chắc chắn"* trở thành câu hỏi của chính learner.

## Unit 6 · Proof by contradiction (Chứng minh bằng phản chứng)

> **Tôi sẽ làm được** chứng minh một điều đúng bằng cách giả sử nó sai rồi chỉ ra mâu thuẫn.

**Mastery level 10-12 · Lớp 9-12 · Logic (Lô-gic) · Justification (Căn cứ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Nhầm phản chứng với việc chỉ ra một phản ví dụ |
| **Đạt** | Đặt được giả thiết phản chứng và đi tới mâu thuẫn |
| **Vững** | Nhận ra bài nào **hợp với phản chứng hơn** chứng minh trực tiếp |

**Bằng chứng đạt.** Learner trình bày được chứng minh căn hai của 2 là số vô tỉ, và chỉ đúng chỗ mâu thuẫn xuất hiện.

**Hiểu lầm thường gặp.** Phản chứng và phản ví dụ là một. Hai thứ ngược nhau: **phản ví dụ bác bỏ** một khẳng định, còn **phản chứng chứng minh** một khẳng định bằng đường vòng. Lẫn hai cái làm learner viết ra một lập luận không chứng minh được gì.

Phản chứng hợp nhất với các mệnh đề dạng *"không tồn tại"* hoặc *"không thể"*, vì đi thẳng thì không biết bắt đầu từ đâu.

**Knowledge node.** Chứng minh phản chứng · Mâu thuẫn · Số vô tỉ · Chiến lược chứng minh

[Module 3.5 · Logic and sets (Mệnh đề và tập hợp) →](/curriculum/toan/reason/logic-and-sets)