--- url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/space-counting/counting.md description: >- Module 4.5 Toán nâng cao: kỹ thuật đếm không sót không trùng, và thói quen luôn kiểm xem mình có đang đếm trùng hay không. --- # Module 4.5 · Counting (Đếm) Thuộc [Package 4 · Space and Counting](/curriculum/aops/space-counting/). | | | | --- | --- | | **Unit** | 5 | | **Mastery level** | 3 tới 12 | | **Lớp (VN)** | 5 tới 12 | | **Mức thi đấu** | Nền tảng tới Olympiad | | **Key concept chính** | Quantity (Lượng) · Logic (Lô-gic) | *** ## Unit 1 · Count systematically (Đếm có hệ thống) > **Tôi sẽ làm được** liệt kê theo một trật tự, nên tôi biết mình đã đếm hết. **Mastery level 3-8 · Lớp 5-9 · Nền tảng tới AMC 10 · Quantity (Lượng)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Liệt kê lộn xộn, không biết đã hết chưa | | **Đạt** | Liệt kê theo thứ tự từ điển hoặc theo một tiêu chí rõ | | **Vững** | Chọn trật tự **làm việc kiểm tra dễ nhất**, không phải trật tự nghĩ ra đầu tiên | **Bằng chứng đạt.** Learner liệt kê hết các trường hợp và chỉ ra được vì sao chắc chắn không sót. **Hiểu lầm thường gặp.** Liệt kê là cách của người chưa biết công thức. Với bài nhỏ, liệt kê có trật tự **nhanh hơn và chắc hơn** công thức áp nhầm. Với bài lớn, chính trật tự liệt kê là thứ gợi ra công thức. **Knowledge node.** Liệt kê có hệ thống · Thứ tự từ điển · Kiểm tra đủ *** ## Unit 2 · Permutations and combinations (Hoán vị và tổ hợp) > **Tôi sẽ làm được** quyết định thứ tự có quan trọng hay không, trước khi chọn công thức. **Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Quantity (Lượng)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Chọn công thức theo cảm giác, hay nhầm hai loại | | **Đạt** | Hỏi *"thứ tự có quan trọng không"* trước rồi mới chọn | | **Vững** | Xử lý được trường hợp có **phần tử giống nhau**, và biết chia cho phần lặp | **Bằng chứng đạt.** Learner đếm số cách xếp chữ cái của một từ có chữ lặp, và chia đúng cho phần lặp. **Hiểu lầm thường gặp.** Hoán vị và tổ hợp là hai công thức phải nhớ. Chỉ có một câu hỏi phải trả lời: **thứ tự có quan trọng không**. Trả lời được câu đó thì công thức tự chọn, và không cần nhớ cái nào là cái nào. **Knowledge node.** Hoán vị · Tổ hợp · Chỉnh hợp · Phần tử lặp *** ## Unit 3 · Overcounting and correcting (Đếm thừa và sửa lại) > **Tôi sẽ làm được** nhận ra mình đang đếm trùng, và chia đúng cho số lần trùng. **Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Ra một con số và nộp, không kiểm trùng | | **Đạt** | Nhận ra khi cùng một cấu hình được đếm nhiều lần | | **Vững** | Tính đúng **mỗi cấu hình bị đếm mấy lần**, kể cả khi số lần khác nhau giữa các cấu hình | **Bằng chứng đạt.** Learner đếm ra một con số, phát hiện mỗi cấu hình được đếm hai lần, và chia đôi có giải thích. **Hiểu lầm thường gặp.** Đếm xong là xong. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả mảng tổ hợp, và nó **không phải lỗi tính toán**: con số ra đúng theo cách đếm, chỉ là cách đếm đã tính trùng. Thói quen cần xây: sau mỗi lời giải đếm, hỏi *"có cấu hình nào tôi đếm hai lần không"*. Cẩn thận một chỗ: nếu **số lần trùng khác nhau** giữa các cấu hình thì không chia đơn giản được, phải tách trường hợp. **Knowledge node.** Đếm trùng · Chia cho số lần lặp · Kiểm tra đếm thừa *** ## Unit 4 · Inclusion and exclusion (Bao hàm và loại trừ) > **Tôi sẽ làm được** cộng trừ có luật khi các tập giao nhau. **Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Systems (Hệ thống)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Cộng các tập lại và quên phần giao bị tính hai lần | | **Đạt** | Dùng đúng công thức cho hai và ba tập | | **Vững** | Hiểu **quy luật đổi dấu** nên viết được cho số tập bất kỳ | **Bằng chứng đạt.** Learner viết được công thức cho bốn tập, đúng dấu, mà không tra công thức. **Hiểu lầm thường gặp.** Đây là một công thức dài phải học thuộc. Nó là **hệ quả của việc sửa đếm trùng**: cộng hết thì phần giao bị tính thừa, trừ đi thì phần giao ba bị trừ quá tay, nên phải cộng lại. Hiểu cơ chế thì không cần nhớ công thức. **Knowledge node.** Bao hàm loại trừ · Phần giao · Quy luật đổi dấu *** ## Unit 5 · Bijection (Song ánh) > **Tôi sẽ làm được** đếm cái khó bằng cách chỉ ra nó tương ứng một một với cái dễ. **Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Equivalence (Tương đương)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Chỉ đếm trực tiếp cái đề hỏi | | **Đạt** | Nhận ra hai bài đếm cho cùng đáp án và dùng bài dễ hơn | | **Vững** | **Xây được song ánh tường minh** và chứng minh nó là một một | **Bằng chứng đạt.** Learner đếm số đường đi trên lưới bằng cách chuyển thành đếm số cách sắp một dãy chữ, và giải thích tương ứng. **Hiểu lầm thường gặp.** Đổi sang bài khác là làm sai đề. Nếu **tương ứng là một một** thì hai bài có cùng đáp án, nên trả lời bài kia là trả lời bài này. Đây là kỹ thuật đẹp nhất của tổ hợp, và phần phải cẩn thận là chứng minh tương ứng thật sự một một chứ không chỉ giống nhau. **Knowledge node.** Song ánh · Tương ứng một một · Chuyển bài toán đếm *** ## Dạy module này theo kiểu AoPS **Problem-first.** Đưa một bài đếm mà **cách đếm tự nhiên sẽ đếm trùng**, và không cảnh báo gì. Để cả lớp ra cùng một đáp án sai. **Khuôn dạy.** Đếm tay rồi đối chiếu: ```text Một bài đếm nhỏ, đáp án dưới 30 ↓ Nửa lớp đếm bằng công thức. Nửa lớp LIỆT KÊ TAY toàn bộ. ↓ Hai con số khác nhau ↓ "Ai đúng? Tìm một cấu hình bị đếm hai lần trong cách công thức." ↓ Learner chỉ ra được cấu hình cụ thể, rồi mới sửa công thức ``` Chỉ ra được **một cấu hình cụ thể bị đếm hai lần** mạnh hơn nhiều so với nói chung chung rằng đã đếm trùng. Đây cũng là lý do bài đếm nhỏ có giá trị dạy cao: nó liệt kê tay được, nên luôn có trọng tài. [Module 4.6 · Probability and expectation →](/curriculum/aops/space-counting/probability)