---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/space-counting/circles.md
description: >-
  Module 4.2 Toán nâng cao (Space and Counting): hình học đường tròn, dây cung,
  góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp và phương tích, nhìn ra đường tròn ẩn.
---

# Module 4.2 · Circle geometry (Hình học đường tròn)

Thuộc [Package 4 · Space and Counting](/curriculum/aops/space-counting/).

| | |
| --- | --- |
| **Unit** | 4 |
| **Mastery level** | 6 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 7 tới 12 |
| **Mức thi đấu** | AMC 8 tới Olympiad |
| **Key concept chính** | Space (Không gian) · Relationships (Quan hệ) |

***

## Unit 1 · Chords and arcs (Dây cung và cung)

> **Tôi sẽ làm được** nối quan hệ giữa dây, cung và khoảng cách tới tâm.

**Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Space (Không gian)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Coi dây cung như một đoạn thẳng bình thường |
| **Đạt** | Dùng quan hệ dây bằng nhau thì cách đều tâm |
| **Vững** | **Kẻ bán kính** như phản xạ đầu tiên khi gặp bài đường tròn |

**Bằng chứng đạt.** Learner kẻ bán kính tới đầu mút dây và tạo ra tam giác cân, rồi giải tiếp.

**Hiểu lầm thường gặp.** Bán kính chỉ dùng khi đề nhắc tới nó. Kẻ bán kính **tạo ra tam giác cân miễn phí**, và đó là nguồn quan hệ góc dồi dào nhất trong hình tròn.

**Knowledge node.** Dây cung · Cung · Bán kính · Tam giác cân trong đường tròn

***

## Unit 2 · Inscribed angles (Góc nội tiếp)

> **Tôi sẽ làm được** dùng quan hệ góc nội tiếp và góc ở tâm để chuyển góc qua lại quanh đường tròn.

**Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Nhớ tỉ lệ một nửa nhưng hay lẫn góc nào là góc nào |
| **Đạt** | Dùng đúng quan hệ, kể cả với góc chắn nửa đường tròn |
| **Vững** | Nhận ra **các góc bằng nhau vì cùng chắn một cung**, và dùng để tìm tam giác đồng dạng |

**Bằng chứng đạt.** Learner chỉ ra hai góc bằng nhau vì cùng chắn một cung, rồi kết luận hai tam giác đồng dạng.

**Hiểu lầm thường gặp.** Góc nội tiếp là một công thức tính góc. Giá trị lớn hơn của nó là **sinh ra các góc bằng nhau**, và các góc bằng nhau lại sinh ra tam giác đồng dạng. Đường tròn là cỗ máy sản xuất quan hệ, không chỉ là một hình.

**Knowledge node.** Góc nội tiếp · Góc ở tâm · Góc chắn nửa đường tròn · Cùng chắn một cung

***

## Unit 3 · Cyclic quadrilaterals (Tứ giác nội tiếp)

> **Tôi sẽ làm được** nhận ra bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, kể cả khi đề không vẽ đường tròn nào.

**Mastery level 9-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Form (Hình thái)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Chỉ dùng được khi đề vẽ sẵn đường tròn |
| **Đạt** | Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tổng hai góc đối bằng 180 độ |
| **Vững** | **Chủ động đi tìm tứ giác nội tiếp** khi thấy hai góc bằng nhau nhìn cùng một đoạn |

**Bằng chứng đạt.** Learner phát hiện bốn điểm đồng viên trong một bài không nhắc gì tới đường tròn, và dùng nó để giải.

**Hiểu lầm thường gặp.** Không có đường tròn thì không có hình học đường tròn. Rất nhiều bài Olympiad hay có lời giải ngắn **chỉ vì có một đường tròn ẩn**, và tìm ra nó là toàn bộ bài. Dấu hiệu hay gặp nhất: hai góc bằng nhau cùng nhìn một đoạn thẳng.

**Knowledge node.** Tứ giác nội tiếp · Bốn điểm đồng viên · Đường tròn ẩn

***

## Unit 4 · Power of a point (Phương tích của một điểm)

> **Tôi sẽ làm được** dùng phương tích để nối các độ dài trên các cát tuyến qua một điểm.

**Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Nhớ công thức nhưng lẫn trường hợp điểm trong và điểm ngoài |
| **Đạt** | Áp dụng đúng cho cát tuyến và tiếp tuyến |
| **Vững** | Dùng phương tích **theo chiều ngược** để chứng minh bốn điểm đồng viên |

**Bằng chứng đạt.** Learner dùng đẳng thức phương tích để chứng minh đồng viên, thay vì chứng minh góc.

**Hiểu lầm thường gặp.** Phương tích chỉ để tính độ dài. Chiều ngược của nó là **tiêu chuẩn đồng viên**, và đó thường là cách ngắn nhất khi bài toàn độ dài chứ không cho góc nào.

**Knowledge node.** Phương tích · Cát tuyến · Tiếp tuyến · Tiêu chuẩn đồng viên

***

## Dạy module này theo kiểu AoPS

**Problem-first.** Đưa một bài **không có đường tròn nào trong đề**, mà lời giải đẹp cần một đường tròn ẩn. Để learner vật lộn bằng góc trước.

**Khuôn dạy.** Săn đường tròn ẩn:

```text
Một bài chỉ toàn tam giác và đường thẳng
     ↓
Learner giải bằng cách cộng trừ góc. Rất dài, có thể tắc.
     ↓
Gợi ý duy nhất: "có hai góc nào bằng nhau mà cùng nhìn một đoạn không?"
     ↓
Learner tìm ra, vẽ đường tròn qua bốn điểm
     ↓
Bài rút ngắn còn vài dòng
```

Đối chiếu độ dài hai lời giải là điểm dạy: cùng một bài, một cách mất hai trang và một cách mất bốn dòng. Khác biệt không nằm ở kỹ thuật tính mà ở chỗ **nhìn ra cấu trúc ẩn**, đúng tinh thần của [Package 2](/curriculum/aops/strategy/).

[Module 4.3 · Area and ratio →](/curriculum/aops/space-counting/area)