---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/prove/counterexamples.md
description: >-
  Module 5.3 Phản ví dụ và trường hợp biên (Prove It): một phản ví dụ là đủ,
  kiểm trường hợp biên, xét mệnh đề đảo có đúng không.
---

# Module 5.3 · Counterexamples and edges (Phản ví dụ và trường hợp biên)

Thuộc [Package 5 · Prove It](/curriculum/aops/prove/).

| | |
| --- | --- |
| **Unit** | 3 |
| **Mastery level** | 5 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 6 tới 12 |
| **Mức thi đấu** | AMC 8 tới Olympiad |
| **Key concept chính** | Logic (Lô-gic) |

***

## Unit 1 · One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ)

> **Tôi sẽ làm được** bác một khẳng định tổng quát chỉ bằng một trường hợp làm nó sai.

**Mastery level 5-10 · Lớp 6-11 · AMC 8 tới AIME · Logic (Lô-gic)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Cố tìm nhiều phản ví dụ vì tưởng một cái chưa chắc |
| **Đạt** | Đưa một phản ví dụ và biết thế là đủ |
| **Vững** | Tìm phản ví dụ **có chủ đích** ở chỗ mệnh đề dễ gãy nhất |

**Bằng chứng đạt.** Learner bác một khẳng định bằng đúng một trường hợp, và khẳng định luôn rằng không cần thêm.

**Hiểu lầm thường gặp.** Một trường hợp thì yếu, nhiều mới mạnh. Với việc **bác bỏ** thì ngược lại hoàn toàn: một trường hợp là đủ và tuyệt đối, vì khẳng định tổng quát nói *mọi*, nên chỉ cần một cái không thoả là câu đó sai.

**Knowledge node.** Phản ví dụ · Bác bỏ mệnh đề · Lượng từ mọi

***

## Unit 2 · Check the edge cases (Kiểm trường hợp biên)

> **Tôi sẽ làm được** thử ngay các trường hợp biên, vì đó là chỗ lập luận hay gãy.

**Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Chỉ thử số nguyên dương nhỏ và vừa |
| **Đạt** | Thử thêm 0, số âm, số 1, và trường hợp suy biến |
| **Vững** | Nghĩ ra được trường hợp biên **đặc thù cho chính mệnh đề đang xét** |

**Bằng chứng đạt.** Learner tìm ra chứng minh của mình hỏng khi mẫu số bằng 0, trước khi nộp.

**Hiểu lầm thường gặp.** Trường hợp biên hiếm nên không đáng bận tâm. Lập luận gãy ở biên chứ hiếm khi gãy ở giữa: chia cho biểu thức có thể bằng 0, tam giác suy biến thành đoạn thẳng, tập rỗng. Đây cũng là kỹ năng ở [Module 2.4 môn Tin học](/curriculum/tin/design/always-work).

**Knowledge node.** Trường hợp biên · Trường hợp suy biến · Điều kiện xác định

***

## Unit 3 · Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không)

> **Tôi sẽ làm được** kiểm riêng mệnh đề đảo, thay vì tưởng nó đi kèm mệnh đề gốc.

**Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Logic (Lô-gic)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Coi mệnh đề và mệnh đề đảo là một |
| **Đạt** | Phát biểu được mệnh đề đảo và kiểm nó riêng |
| **Vững** | Nhận ra khi **cả hai chiều cùng đúng** thì mới dùng được chữ *khi và chỉ khi* |

**Bằng chứng đạt.** Learner chỉ ra một mệnh đề đúng mà đảo của nó sai, và đưa phản ví dụ cho chiều đảo.

**Hiểu lầm thường gặp.** Nếu A dẫn tới B thì B cũng dẫn tới A. Đây là lỗi lập luận phổ biến nhất ngoài đời, không chỉ trong toán, và nó nguy hiểm vì thường không ai để ý mình vừa suy ngược. Trong bài chứng minh **khi và chỉ khi**, quên một chiều là mất nửa số điểm.

**Knowledge node.** Mệnh đề đảo · Điều kiện cần và đủ · Chứng minh hai chiều

***

## Dạy module này theo kiểu AoPS

**Problem-first.** Đưa một mệnh đề **trông rất đúng** và bảo learner chứng minh. Nó sai, và chỗ sai nằm ở một trường hợp biên.

**Khuôn dạy.** Săn phản ví dụ trước khi chứng minh:

```text
Năm mệnh đề, ba đúng và hai sai, KHÔNG nói cái nào là cái nào
     ↓
Luật: dành 3 phút ĐẦU cho mỗi mệnh đề để đi tìm phản ví dụ
     ↓
Chỉ khi không tìm được mới bắt đầu chứng minh
     ↓
"Em tìm phản ví dụ ở đâu trước? Vì sao ở đó?"
     ↓
Cả lớp lập danh sách chỗ đáng thử: 0, số âm, 1, trường hợp suy biến
```

Thói quen **săn phản ví dụ trước** tiết kiệm rất nhiều thời gian: không ai muốn dành hai mươi phút chứng minh một mệnh đề sai. Nó cũng làm learner hiểu mệnh đề sâu hơn trước khi bắt tay.

[Module 5.4 · Write it up →](/curriculum/aops/prove/write-it-up)