---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/prove.md
description: >-
  Package 5 Prove It (Toán nâng cao): chứng minh, package tách môn này khỏi mọi
  cách học toán khác, gồm ba module.
---

# Package 5 · Prove It (Chứng minh)

Thuộc [Curriculum Advanced Mathematics](/curriculum/aops/). Package tách môn này khỏi mọi cách học toán khác.

| | |
| --- | --- |
| **Module** | 4 |
| **Unit** | 14 |
| **Mastery level** | 5 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 6 tới 12 |
| **Mức thi đấu** | AMC 8 tới Olympiad |
| **Key concept chính** | Justification (Căn cứ) · Logic (Lô-gic) |

Đây là ranh giới thật giữa toán phổ thông và toán thi đấu bậc cao. Ở AMC, learner nộp một con số. Từ Olympiad trở đi, learner nộp một **lập luận**, và lập luận đó bị đọc bởi người cố tìm lỗ hổng.

## Module trong package

| Module | Nội dung | Unit |
| --- | --- | --- |
| [5.1 · What counts as a proof](/curriculum/aops/prove/what-is-proof) (Thế nào là một chứng minh) | Ranh giới giữa tin và chứng minh được | 3 |
| [5.2 · Proof techniques](/curriculum/aops/prove/techniques) (Các kỹ thuật chứng minh) | Trực tiếp, phản chứng, phản đảo, quy nạp | 4 |
| [5.3 · Counterexamples and edges](/curriculum/aops/prove/counterexamples) (Phản ví dụ và trường hợp biên) | Bác bỏ, và chỗ lập luận hay gãy | 3 |
| [5.4 · Write it up](/curriculum/aops/prove/write-it-up) (Viết ra cho người khác đọc) | Từ hiểu trong đầu tới bài viết đọc được | 4 |

## Toàn bộ unit

| Unit | Mastery (B21) | Lớp (VN) | Mức thi đấu | Key concept |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5.1.1 Believing is not proving (Tin không phải là chứng minh) | 5-10 | 6-10 | AMC 8 - AMC 12 | Justification |
| 5.1.2 What a proof must cover (Chứng minh phải phủ những gì) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Logic |
| 5.1.3 Find the gap in a given proof (Tìm lỗ hổng trong một chứng minh) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.2.1 Direct proof (Chứng minh trực tiếp) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Logic |
| 5.2.2 Proof by contradiction (Chứng minh phản chứng) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.2.3 Contrapositive (Mệnh đề phản đảo) | 9-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Equivalence |
| 5.2.4 Induction (Quy nạp toán học) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 5.3.1 One counterexample is enough (Một phản ví dụ là đủ) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Logic |
| 5.3.2 Check the edge cases (Kiểm trường hợp biên) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Logic |
| 5.3.3 Is the converse true (Mệnh đề đảo có đúng không) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Logic |
| 5.4.1 Write for a reader who will attack it (Viết cho người sẽ soi lỗi) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.2 State what you assume (Nói rõ mình giả sử gì) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.3 Do not write "obviously" (Đừng viết chữ "hiển nhiên") | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 5.4.4 Generalize what you proved (Tổng quát hoá điều vừa chứng minh) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Generalization |

## Chỗ hay bị bỏ qua

Unit **5.4.3** nghe như chuyện văn phong nhưng không phải. Chữ *hiển nhiên* trong một bài chứng minh gần như luôn nằm ở đúng chỗ tác giả **chưa kiểm**. Người chấm biết điều đó, nên đó là chỗ họ soi đầu tiên. Quy tắc thực dụng: mỗi lần định viết *hiển nhiên*, hãy thử viết ra vì sao; nếu viết được trong một dòng thì viết luôn, nếu không viết được thì vừa tìm ra một lỗ hổng.

Unit **5.1.3** là bài tập có sức dạy cao nhất của cả package, và nó đảo vai trò: learner nhận một chứng minh **có lỗi cài sẵn** và phải tìm ra. Đọc để tìm lỗ hổng dạy được chuẩn *thế nào là đủ chặt* nhanh hơn nhiều so với tự viết.

Unit **5.2.4** thường bị dạy thành một thủ tục ba bước điền vào chỗ trống. Quy nạp không phải thủ tục: bước khó là **tìm đúng phát biểu để quy nạp**, và phát biểu mạnh hơn đôi khi lại dễ chứng minh hơn phát biểu yếu. Đó là nghịch lý mà learner cần gặp tường minh.

[Package 6 · Compete →](/curriculum/aops/compete/)