---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/number-algebra/functions-sequences.md
description: >-
  Module 3.5 Hàm số và dãy số (Số và đại số): tư duy hàm, cấp số cộng, cấp số
  nhân và dãy truy hồi.
---

# Module 3.5 · Functions and sequences (Hàm số và dãy số)

Thuộc [Package 3 · Number and Algebra](/curriculum/aops/number-algebra/).

| | |
| --- | --- |
| **Unit** | 4 |
| **Mastery level** | 5 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 6 tới 12 |
| **Mức thi đấu** | AMC 8 tới Olympiad |
| **Key concept chính** | Relationships (Quan hệ) · Pattern (Quy luật) |

***

## Unit 1 · Functional thinking (Tư duy hàm)

> **Tôi sẽ làm được** coi hàm số là quy tắc nhận vào trả ra, nên tôi thăm dò được nó bằng giá trị cụ thể.

**Mastery level 6-11 · Lớp 7-12 · AMC 8 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Coi `f(x)` là một cách viết lạ của `y`, cần có công thức mới làm được |
| **Đạt** | Tính được `f(a + 1)`, `f(f(x))` từ định nghĩa |
| **Vững** | Thăm dò một hàm chưa biết công thức bằng cách **thay giá trị đặc biệt**: 0, 1, chính nó |

**Bằng chứng đạt.** Learner gặp một hàm cho bởi tính chất, thay `x = 0` và `x = y`, và rút ra được thông tin.

**Hiểu lầm thường gặp.** Không có công thức thì không làm gì được. Với hàm cho bởi tính chất, **thay giá trị đặc biệt là công cụ chính**, và công thức thường là thứ tìm ra sau cùng chứ không phải thứ có sẵn từ đầu.

**Knowledge node.** Hàm số · Hàm hợp · Thăm dò bằng giá trị đặc biệt

***

## Unit 2 · Arithmetic and geometric sequences (Cấp số cộng và cấp số nhân)

> **Tôi sẽ làm được** nhận ra loại dãy từ dữ liệu, bằng cách kiểm hiệu số và kiểm tỉ số.

**Mastery level 5-10 · Lớp 6-11 · AMC 8 tới AIME · Pattern (Quy luật)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Đoán loại dãy theo cảm giác tăng nhanh hay chậm |
| **Đạt** | Kiểm hiệu số và tỉ số để xác định loại dãy |
| **Vững** | Tính tổng nhanh bằng cách **ghép cặp đầu cuối** thay vì cộng lần lượt |

**Bằng chứng đạt.** Learner tính tổng một cấp số cộng dài bằng cách ghép cặp, và giải thích được vì sao cách đó đúng.

**Hiểu lầm thường gặp.** Tăng nhanh nghĩa là cấp số nhân. Một cấp số cộng với công sai lớn cũng tăng rất nhanh. Dấu hiệu phân biệt là **hiệu không đổi hay tỉ số không đổi**, và đó là phép kiểm hai dòng, không phải cảm giác.

**Knowledge node.** Cấp số cộng · Cấp số nhân · Tổng dãy · Ghép cặp

***

## Unit 3 · Recurrences (Dãy truy hồi)

> **Tôi sẽ làm được** lập hệ thức truy hồi từ bài toán, và tính giá trị xa bằng nó.

**Mastery level 9-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Pattern (Quy luật)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Tính từng số hạng một tới khi mệt |
| **Đạt** | Lập được hệ thức truy hồi và trường hợp cơ sở |
| **Vững** | Nhận ra **truy hồi cũng có chu kỳ theo mô-đun**, và dùng nó cho chỉ số rất lớn |

**Bằng chứng đạt.** Learner tìm số dư của số hạng thứ 2026 của một dãy truy hồi, bằng chu kỳ số dư chứ không tính hết.

**Hiểu lầm thường gặp.** Có hệ thức truy hồi thì phải tìm công thức tổng quát. Rất nhiều bài **không cần công thức tổng quát**: chỉ cần chu kỳ theo mô-đun, và tìm chu kỳ dễ hơn nhiều. Đây là chỗ [Module 3.2](/curriculum/aops/number-algebra/modular) gặp lại phần dãy số.

**Knowledge node.** Hệ thức truy hồi · Trường hợp cơ sở · Chu kỳ của dãy theo mô-đun

***

## Unit 4 · Functional equations (Phương trình hàm)

> **Tôi sẽ làm được** giải phương trình hàm bằng cách thay giá trị đặc biệt và lần ra tính chất.

**Mastery level 11-12 · Lớp 11-12 · Olympiad · Logic (Lô-gic)**

| Bậc | Learner làm được gì |
| --- | --- |
| **Đang hình thành** | Đoán một hàm rồi kiểm, không có phương pháp |
| **Đạt** | Thay các giá trị đặc biệt để rút ra tính chất của hàm |
| **Vững** | **Chứng minh hàm tìm được là duy nhất**, không chỉ chỉ ra một hàm thoả |

**Bằng chứng đạt.** Learner tìm ra hàm thoả và chứng minh không còn hàm nào khác, thay vì dừng ở chỗ đoán trúng.

**Hiểu lầm thường gặp.** Tìm được một hàm thoả là giải xong. Đề đòi **tìm tất cả các hàm**, nên chỉ ra một hàm là mới xong một nửa. Đây là lỗi mất nửa số điểm rất phổ biến ở Olympiad, và nó thuộc cùng loại với [Package 5](/curriculum/aops/prove/) về việc chứng minh phải phủ những gì.

**Knowledge node.** Phương trình hàm · Giá trị đặc biệt · Tính duy nhất của nghiệm hàm

***

## Dạy module này theo kiểu AoPS

**Problem-first.** Đưa một phương trình hàm đơn giản và **không dạy phương pháp nào**. Để learner đoán bừa vài hàm, rồi hỏi *"làm sao biết không còn hàm nào khác"*.

**Khuôn dạy.** Thăm dò bằng giá trị đặc biệt:

```text
Một phương trình hàm với f chưa biết
     ↓
"Thay x = 0 xem được gì."  Learner thử.
     ↓
"Thay y = 0. Thay y = x. Thay x = 1."
     ↓
Mỗi lần thay cho một mảnh thông tin. Ghi hết lên bảng.
     ↓
"Ghép các mảnh lại. Giờ ta biết gì về f?"
```

Điểm dạy quan trọng: các giá trị đặc biệt không phải mẹo mà là **cách duy nhất để lấy thông tin** khi hàm chưa biết. Learner làm quen với nhịp *thay, thu thông tin, ghép lại* sẽ không còn thấy phương trình hàm là loại bài bí ẩn.

[Module 3.6 · Integer problems →](/curriculum/aops/number-algebra/integer-problems)