--- url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/number-algebra/equations.md description: >- Module 3.4 Phương trình và bất đẳng thức (Số và đại số): giải bậc nhất, bậc hai với Vi-ét, và chứng minh bất đẳng thức cơ bản. --- # Module 3.4 · Equations and inequalities (Phương trình và bất đẳng thức) Thuộc [Package 3 · Number and Algebra](/curriculum/aops/number-algebra/). | | | | --- | --- | | **Unit** | 5 | | **Mastery level** | 3 tới 12 | | **Lớp (VN)** | 5 tới 12 | | **Mức thi đấu** | Nền tảng tới Olympiad | | **Key concept chính** | Relationships (Quan hệ) · Justification (Căn cứ) | *** ## Unit 1 · Linear equations and systems (Phương trình bậc nhất và hệ) > **Tôi sẽ làm được** giải hệ bằng cách chọn phương pháp ít bước nhất. **Mastery level 3-8 · Lớp 5-9 · Nền tảng tới AMC 10 · Relationships (Quan hệ)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Luôn dùng một phương pháp duy nhất | | **Đạt** | Giải được bằng cả thế và cộng đại số | | **Vững** | Nhìn hệ và **chọn ngay cách ít bước hơn**; nhận ra hệ có cấu trúc đối xứng | **Bằng chứng đạt.** Learner cộng hai phương trình để ra ngay `x + y` khi đề chỉ hỏi `x + y`, không giải tìm từng ẩn. **Hiểu lầm thường gặp.** Giải hệ nghĩa là tìm từng ẩn. Nhiều bài chỉ hỏi một **biểu thức của các ẩn**, và biểu thức đó lấy được trực tiếp mà không cần biết từng giá trị. Đây là chỗ tiết kiệm thời gian lớn nhất ở phần đại số thi đấu. **Knowledge node.** Hệ phương trình · Phương pháp thế · Cộng đại số · Hệ đối xứng *** ## Unit 2 · Quadratics and Vieta (Bậc hai và định lý Vi-ét) > **Tôi sẽ làm được** đọc tổng và tích nghiệm thẳng từ hệ số, không cần giải phương trình. **Mastery level 7-12 · Lớp 8-12 · AMC 10 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Luôn dùng công thức nghiệm rồi mới tính tiếp | | **Đạt** | Dùng Vi-ét để tính biểu thức của hai nghiệm | | **Vững** | Đi ngược: **dựng phương trình từ tổng và tích**, và dùng cho bài bậc cao hơn | **Bằng chứng đạt.** Learner tính tổng bình phương hai nghiệm mà không giải phương trình, kể cả khi nghiệm vô tỉ. **Hiểu lầm thường gặp.** Vi-ét là mẹo kiểm tra nghiệm. Nó là cầu nối giữa **hệ số** và **nghiệm**, và nó cứu mọi bài có nghiệm xấu. Kết hợp với biểu thức đối xứng ở [Unit 3.3.4](/curriculum/aops/number-algebra/manipulation) thì phủ được một mảng lớn đề AMC và AIME. **Knowledge node.** Phương trình bậc hai · Định lý Vi-ét · Biểu thức của nghiệm *** ## Unit 3 · Basic inequalities (Bất đẳng thức cơ bản) > **Tôi sẽ làm được** chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương về một dạng hiển nhiên đúng. **Mastery level 8-12 · Lớp 9-12 · AMC 12 tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Biến đổi lung tung, không có đích rõ ràng | | **Đạt** | Biến đổi về dạng bình phương không âm | | **Vững** | Biết **đi ngược từ đích**: viết ra dạng cuối muốn có, rồi lần ngược lên | **Bằng chứng đạt.** Learner chứng minh một bất đẳng thức hai biến bằng cách đưa về `(a - b)² ≥ 0`, và trình bày theo chiều xuôi. **Hiểu lầm thường gặp.** Chứng minh bất đẳng thức là biến đổi mãi rồi sẽ ra. Có một đích rất cụ thể: **đưa về tổng các bình phương**. Biết đích thì mọi bước biến đổi có hướng, và đây cũng là chỗ [Unit 2.1.3](/curriculum/aops/strategy/search) về đi ngược phát huy tác dụng. **Knowledge node.** Bất đẳng thức · Bình phương không âm · Biến đổi tương đương *** ## Unit 4 · AM-GM and Cauchy (AM-GM và Cauchy-Schwarz) > **Tôi sẽ làm được** dùng hai bất đẳng thức mạnh này, và kiểm điều kiện áp dụng trước. **Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Relationships (Quan hệ)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Áp dụng máy móc, quên điều kiện các số không âm | | **Đạt** | Áp dụng đúng cho hai và ba số, kiểm điều kiện | | **Vững** | **Chọn cách ghép hạng tử** sao cho dấu bằng đạt được, không chỉ để ra bất đẳng thức đúng | **Bằng chứng đạt.** Learner áp AM-GM theo một cách ghép cho kết quả chặt, sau khi thử một cách ghép khác cho kết quả lỏng. **Hiểu lầm thường gặp.** Áp AM-GM là ra đáp án. Áp sai cách ghép cho một bất đẳng thức **đúng nhưng vô dụng**, vì dấu bằng không bao giờ xảy ra. Nghệ thuật nằm ở cách ghép, không ở việc nhớ công thức. **Knowledge node.** AM-GM · Cauchy-Schwarz · Điều kiện áp dụng · Cách ghép hạng tử *** ## Unit 5 · When equality holds (Dấu bằng xảy ra khi nào) > **Tôi sẽ làm được** tìm điểm dấu bằng, vì đó mới là câu trả lời cho bài hỏi giá trị lớn nhất nhỏ nhất. **Mastery level 10-12 · Lớp 10-12 · AIME tới Olympiad · Justification (Căn cứ)** | Bậc | Learner làm được gì | | --- | --- | | **Đang hình thành** | Chứng minh xong bất đẳng thức là dừng | | **Đạt** | Chỉ ra điều kiện dấu bằng và kiểm nó thoả ràng buộc của đề | | **Vững** | **Đoán điểm dấu bằng trước** bằng đối xứng, rồi chọn cách chứng minh phù hợp | **Bằng chứng đạt.** Learner đoán dấu bằng ở `a = b = c` bằng đối xứng, dùng nó để chọn cách ghép AM-GM, rồi chứng minh. **Hiểu lầm thường gặp.** Chứng minh được bất đẳng thức là trả lời được bài. Bài hỏi **giá trị nhỏ nhất** đòi hai việc: chứng minh biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng một số, **và** chỉ ra số đó đạt được. Thiếu vế sau thì chưa trả lời, và đó là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở dạng này. **Knowledge node.** Điểm dấu bằng · Giá trị lớn nhất nhỏ nhất · Điều kiện đạt được *** ## Dạy module này theo kiểu AoPS **Problem-first.** Cho một bài tìm giá trị nhỏ nhất, và để learner chứng minh xong bất đẳng thức rồi dừng. Sau đó hỏi: *"vậy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?"* **Khuôn dạy.** Hai cách ghép, hai kết quả: ```text Một bài AM-GM. Chia lớp hai nhóm, mỗi nhóm một cách ghép hạng tử. ↓ Cả hai nhóm đều ra một bất đẳng thức ĐÚNG ↓ Nhưng hai kết quả khác nhau: một cái chặt, một cái lỏng ↓ "Cả hai đều đúng. Vì sao chỉ một cái trả lời được bài?" ↓ Kiểm dấu bằng: nhóm lỏng có dấu bằng không đạt được ``` Đây là khuôn dạy hiệu quả nhất cho unit 5, vì learner tận mắt thấy một lời giải **đúng mà vô dụng**. Sau đó việc kiểm dấu bằng thành phản xạ chứ không phải một bước bị nhắc. [Module 3.5 · Functions and sequences →](/curriculum/aops/number-algebra/functions-sequences)