---
url: https://docs.nemo12.com/curriculum/aops/number-algebra.md
description: >-
  Package 3 Số và đại số (Toán nâng cao): package công cụ, gồm sáu module từ cấu
  trúc số, mô-đun tới phương trình và bài toán nguyên.
---

# Package 3 · Number and Algebra (Số và đại số)

Thuộc [Curriculum Advanced Mathematics](/curriculum/aops/). Một trong hai package **công cụ**.

| | |
| --- | --- |
| **Module** | 6 |
| **Unit** | 24 |
| **Mastery level** | 3 tới 12 |
| **Lớp (VN)** | 5 tới 12 |
| **Mức thi đấu** | Nền tảng tới Olympiad |
| **Key concept chính** | Form (Hình thái) · Relationships (Quan hệ) |

Package này gom **LP2, LP3 và LP6** của bản đề xuất gốc. Độ khó không tách thành package riêng mà nằm ở cột **mức thi đấu** của từng unit, vì cùng một chủ đề như bất đẳng thức xuất hiện ở cả mức AMC lẫn mức Olympiad.

## Module trong package

| Module | Nội dung | Unit |
| --- | --- | --- |
| [3.1 · Number structure](/curriculum/aops/number-algebra/number-structure) (Cấu trúc số) | Số nguyên tố, phân tích, chia hết, ước chung | 4 |
| [3.2 · Modular arithmetic](/curriculum/aops/number-algebra/modular) (Số học mô-đun) | Số dư, đồng dư, luỹ thừa theo mô-đun | 4 |
| [3.3 · Algebraic manipulation](/curriculum/aops/number-algebra/manipulation) (Biến đổi đại số) | Biểu thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử | 4 |
| [3.4 · Equations and inequalities](/curriculum/aops/number-algebra/equations) (Phương trình và bất đẳng thức) | Bậc nhất, hệ, bậc hai, AM-GM | 5 |
| [3.5 · Functions and sequences](/curriculum/aops/number-algebra/functions-sequences) (Hàm số và dãy số) | Tư duy hàm, truy hồi, chuỗi | 4 |
| [3.6 · Integer problems](/curriculum/aops/number-algebra/integer-problems) (Bài toán số nguyên) | Diophantine, bài toán chữ số | 3 |

## Toàn bộ unit

| Unit | Mastery (B21) | Lớp (VN) | Mức thi đấu | Key concept |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3.1.1 Primes and factorization (Số nguyên tố và phân tích) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Form |
| 3.1.2 Divisibility rules and why they work (Dấu hiệu chia hết và vì sao đúng) | 4-9 | 5-10 | Nền tảng - AMC 10 | Logic |
| 3.1.3 GCD and LCM (Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất) | 5-10 | 6-10 | AMC 8 - AMC 12 | Relationships |
| 3.1.4 Counting divisors (Đếm số ước) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Quantity |
| 3.2.1 Remainders as a tool (Dùng số dư làm công cụ) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Pattern |
| 3.2.2 Congruences (Đồng dư thức) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Equivalence |
| 3.2.3 Powers modulo n (Luỹ thừa theo mô-đun) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 3.2.4 Fermat and Euler (Định lý Fermat nhỏ và hàm Euler) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Relationships |
| 3.3.1 Expressions and identities (Biểu thức và hằng đẳng thức) | 4-9 | 6-10 | Nền tảng - AMC 10 | Form |
| 3.3.2 Factoring as pattern recognition (Phân tích nhân tử là nhận dạng) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Pattern |
| 3.3.3 Substitution (Đặt ẩn phụ) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Simplification |
| 3.3.4 Symmetric expressions (Biểu thức đối xứng) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Form |
| 3.4.1 Linear equations and systems (Phương trình bậc nhất và hệ) | 3-8 | 5-9 | Nền tảng - AMC 10 | Relationships |
| 3.4.2 Quadratics and Vieta (Bậc hai và định lý Vi-ét) | 7-12 | 8-12 | AMC 10 - Olympiad | Relationships |
| 3.4.3 Basic inequalities (Bất đẳng thức cơ bản) | 8-12 | 9-12 | AMC 12 - Olympiad | Relationships |
| 3.4.4 AM-GM and Cauchy (AM-GM và Cauchy-Schwarz) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Relationships |
| 3.4.5 When equality holds (Dấu bằng xảy ra khi nào) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Justification |
| 3.5.1 Functional thinking (Tư duy hàm) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Relationships |
| 3.5.2 Arithmetic and geometric sequences (Cấp số cộng và cấp số nhân) | 5-10 | 6-11 | AMC 8 - AIME | Pattern |
| 3.5.3 Recurrences (Dãy truy hồi) | 9-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Pattern |
| 3.5.4 Functional equations (Phương trình hàm) | 11-12 | 11-12 | Olympiad | Logic |
| 3.6.1 Diophantine equations (Phương trình nghiệm nguyên) | 9-12 | 9-12 | AIME - Olympiad | Logic |
| 3.6.2 Digit problems (Bài toán chữ số) | 6-11 | 7-12 | AMC 8 - Olympiad | Representation |
| 3.6.3 Bounding an integer solution (Chặn nghiệm nguyên) | 10-12 | 10-12 | AIME - Olympiad | Logic |

## Chỗ hay bị bỏ qua

Unit **3.4.5** là unit nhỏ mà đắt. Rất nhiều bài bất đẳng thức thi đấu không hỏi chứng minh, mà hỏi **giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất**. Trả lời được câu đó đòi biết dấu bằng xảy ra ở đâu, và learner chỉ học công thức AM-GM mà bỏ qua điều kiện dấu bằng sẽ chứng minh được bất đẳng thức nhưng không tìm được giá trị.

Unit **3.1.2** đi ngược cách dạy phổ thông. Dấu hiệu chia hết cho 3 thường được dạy như một mẹo phải nhớ; ở đây nó được **chứng minh trong năm dòng** bằng số dư của luỹ thừa 10. Learner hiểu được điều đó thì tự suy ra dấu hiệu cho 9, cho 11, và cho những số chưa ai dạy.

Unit **3.3.2** đặt lại bản chất của phân tích nhân tử: nó không phải kỹ thuật biến đổi mà là **nhận dạng một dạng quen dưới lớp vỏ lạ**, cùng loại năng lực với Package 2.

[Package 4 · Space and Counting →](/curriculum/aops/space-counting/)